数据结构——二叉树概述及其数组（顺序存储）表达法

树与二叉树：

什么是树呢？就是一个节点上会有很多分叉的数据结构。一般的，对于一棵树，我们需要的结构体为一个数据块和几个指针块，这就相当于很多个链表交织在了一起，实际上，链表也可以算是一种特殊的树，而我要讲的，也是一种特殊的树——二叉树。

对于树的各个节点，都有两个属性，称为度（degree），他的意思就是这个节点所拥有的子节点的数量。还有一个属性，称为深度（depth），指节点到根的距离。

什么是二叉树呢？顾名思义，就是度为二的树，它长这样：



如图所示，在链表中我们需要头（head），而在树中我们就需要根（root），A就是这棵二叉树的根，根据二叉树的定义，每个节点指向两个节点，于是B,C被称为A的孩子（child），我们称为子节点，A就是他们的父母（parent），可以称为父节点。因为DEFG后面不再有其他节点，所以我们称他们为叶节点（leaf）。

关于二叉树的其他概念：

一、斜树：就是斜着长的树，比如上图中只留下ABD或者ACG的话就是斜树了。

二、满二叉树：如果所有的节点都存在左子树和又子树，并且所有的叶的深度都相同，那么这个树被称为满二叉树。

三、完全二叉树：我们对二叉树进行编号，比如上图，编为A(1)B(2)C(3)D(4)E(5)F(6)G(7)，可以发现，这棵树一共有7个节点（记为n），但是我们如果删除G，那么是6个节点，对于新的这棵树进行遍历，和当它满的时候各点的编号一样，则它是完全二叉树。但是如果拿掉的是F，那么就不是完全二叉树。满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

二叉树的性质：

为什么说二叉树特殊呢？因为它有如下的性质：

一、在二叉树的第i层至多有2i-1个节点。

二、深度为k的二叉树最多有2k-1个节点。（注意与第一点的区别，一个是指数为i-1，一个指数为k但整体-1）

三、具有n个节点的完全二叉树的深度为[(log2n)]+1.[]表示取整.

四、对于任意一个编号为n的节点，如果它有子节点，它的左子节点编号为2n,右节点的编号为2n+1。（这条性质很重要，决定了二叉树可以用数组来表示）。

二叉树的遍历：

二叉树主要有三种遍历方法。

1、先序遍历：优先遍历根，然后优先遍历左节点。图中的二叉树先序遍历后的结果为ABDECFG

2、后序遍历：优先访问最底层的左节点，图中的二叉树后序遍历后的结果为DEBFGCA

3、中序遍历：先访问最下层的叶，并且由左子树到父节点到右子树的顺序遍历，图中二叉树中序遍历后的结果为DBEFCGA

二叉树的顺序存储方法：

对于图中的树，它的编号是这样的：A(1)B(2)C(3)D(4)E(5)F(6)G(7)，利用性质四，就可以很轻松的建立一棵顺序二叉树。

我们可以把数组中的第一个位置舍弃，因为不方便。我们来看一下如何进行先序输入吧：

void get_tree(char *tree,int sub){
char t;
scanf("%c",&t);
tree[sub]=t;
if(t=='#')
return;
get_tree(tree,2*sub);
get_tree(tree,2*sub+1);
}

输入#号表示该节点为空，不然的话，永远都输入不完啦！

那么先序输出也就简单了：

void print_tree(char *tree,int sub){
if(tree[sub]=='#')
return;
printf("%c",tree[sub]);
print_tree(tree,2*sub);
print_tree(tree,2*sub+1);
}

代码很简洁方便，而且想要某个点的深度只要取该点下标，利用性质三就行了。由于math.h库里面没有log以2为底的函数，所以需要用到换底公式来操作，我就不再多说了。

总体的代码如下：

//二叉树的先序输入与输出
#include <stdio.h>
void get_tree(char*,int);
void print_tree(char*,int);
int main(){
char tree[1000];
get_tree(tree,1);
print_tree(tree,1);
return 0;
}
void get_tree(char *tree,int sub){
char t;
scanf("%c",&t);
tree[sub]=t;
if(t=='#')
return;
get_tree(tree,2*sub);
get_tree(tree,2*sub+1);
}
void print_tree(char *tree,int sub){
if(tree[sub]=='#')
return;
printf("%c",tree[sub]);
print_tree(tree,2*sub);
print_tree(tree,2*sub+1);
}