支配树(dominator tree)学习笔记

一些定义

idom(w)=max{v∣删掉v后没有从起点到w的路径}

​ 记最近支配点idom(w)为iw，其意义如定义。

sdom(w)=min{v∣有一条路径v=v0,v1,⋯vk=w使得对于i∈[1,k)有vi>w}

​ 记最远半支配点sdom(w)为sw，则sw的意义是dfs树上w的一个“最高分叉点”，也就是最浅的能够从“另一外一条路”绕到w的点。(这里我后来想了想感觉这么说也不太对。。。但是演算法笔记里面又是这么说的。。。有点不太懂sdom的意义了。。。可能的确只是一个辅助计算的东西吧。。。)

记图的起点为r。接下来讨论的图都是在有向图G=(V,E)的dfs树上的，点按照dfs序重标号。

u→˙v表示u是v的祖先，u−→+v表示u→˙v且$u\neq v$。

路径P(u,v)表示沿着树边从u走到v中间遇到的点的集合（不包括u,v）。

路径P[u,v]表示沿着树边从u走到v中间遇到的点的集合（包括u,v）。

路径P(u,v],P[u,v)同理。

一些性质

sw−→+w。

首先至少w的父亲是一个半支配点，则sw不可能是比faw大的点。若sw不在祖先里，此时有一条sw→w的路径，与dfs树的性质矛盾。

iw→˙sw。

若iw不是w的祖先，则可以直接从r沿树边到w而不用经过w；若iw不是sw祖先，则sw处分出至少两条不相交路径，其中iw最多只能占一条，因此均矛盾。

iw−→+w。

由定义，显然。

若对于v,w有v→˙w，则iw∈P[v,w]或iw∈P[r,iv] 。

由定义，存在至少两条iv到v的不相交路径P1,P2，若iw∈P(iv,v)，则iw不能同时位于这两条路径上，矛盾。

两个idom的确定定理

对于w≠r，若∀u∈P(sw,w]均有sw≤su，则iw=sw 。

先说明sw支配了w。任取一条r到w的路径p，设x为路径中最后一个满足x<sw的点。如果不存在这样的x，也就意味着sw一定是路径中的起点，显然有sw支配w。 接着，令y为p在P[sw,w]中最的第一个点，再取q={x,v1⋯vk,y}，那么有vi>y。这个考虑反证，若有vi<y，注意到在dfs树上一个小点走向大点的路径里一定会经过它们的LCA，取这个LCA为vj，因为x已经是最后一个x<sw的点了，而vj在x后，因此vj≥sw，又因为vj是y的祖先，所以有sw→˙vj→˙y→˙w，但这样与y是最早的P[sw,w]中的点矛盾，因此有vi>y 。这说明x可能成为y的半支配点，蕴含着sdom(y)≤x，而由假设有x<sw，因此sdom(y)<sdom(w)，由条件知y只能是sw。这就说明了任何一条r到w路径都一定包含了sw 。

接下来说明sw是w最大的支配点。这个由上面的性质2可以立即得出。

对于w≠r​，取u∈P(sw,w]​中sdom​最小的u​，则su≤sw​且iw=iu​。

我们可以效仿上面的证明，任取一条路径，取第一个x<iu的x，如果不存在则显然iu已经支配了w；再取第一个y∈P[iu,w]，注意到这里的条件已经被强化了，所以我们同样可以沿用上面的证明来说明sdom(y)≤x。那么这样就有一个关系图：sy≤x<iu≤su≤sw≤u≤w。但是现在我们还不知道y的位置，所以我们要尝试确定它。首先y一定不早P[sw,w]内，否则这就违反了su最小的前提；其次y也不会在P(iu,sw]内，否则就存在一条sy→y的路径且中间的点都大于y，这就避开了iu从而能到达u，矛盾；又由前提y∈P[iu,w]可得y=idom(u)。这样就说明了idom(u)一定在r→w的路径上。所以idom(w)=idom(u)。

​

显然这两个定理对于每个w都涵盖了所有的情况。

​

也就是说，我们先取P(sw,w]中sdom最小的记为u，若u=w，则idom(w)=sdom(w)，否则idom(w)=idom(u) 。

sdom的确定定理

对于w≠r，有sdom(w)=min{{v∣(v,w)∈E且v<w}∩{sdom (u)∣u>w且存在边(v,w)使得u→˙v}}

我们令等式右边为x，接下来的证明分成两部分。

先证明sdom(w)≤x。若x是在第一种集合里，由定义显然有sw≤x。考虑x在第二种集合里，则存在点u>w使得sdom(u)=x且有边(v,w)满足u\dot\rightarrow v。那么利用这个条件我们可以构造出一条x到w的路径，使得路径内经过的点都大于w，这说明x可能成为w的sdom，因此也有sdom(w)≤x。

然后证明sdom(w)≥x。我们取路径p={sw=v0,v1⋯vk=w且v1⋯vk−1>w}。若k=1，显然有sdom(w)≥x成立。否则在这条路径上取最小的一个点使得vj→˙vk−1，那么一定有v1⋯vj−1>vj，否则我们取最小的vi，其走到vj的路径一定会经过LCA(vi,vj)，这是一条dfs树上由小指向大的路径，LCA一定不大于vi，而由前提可得LCA即为vi，这导出vi→˙vj，与前提矛盾，故v1⋯vj−1>vj。注意到这实际上是构造了一个vj满足了第二个集合里面的u，那么我们可以得到sdom(w)≥sdom(vj)≥x。

结合以上两个不等式，就得到了x=sdom(w)。

求sdom及idom

定义两个过程：

* link(u,v)

* 将u设为森林中v的父亲。

* eval(u)

* 如果u是森林里的一个根则返回u，否则设根为r，返回P(r,u]上sdom最小的点。

​

利用这两个函数，根据上面的sdom确定定理，我们考虑从大到小来求sdom。对于扫到的每个w，我们计算sdom(w)=min{sdom(eval(v))∣(v,e)∈E}。考虑这个式子的正确性，当v<w时还没扫到v，eval(v)返回v；当v>w时，即是对应了sdom的式子里的第二个集合里的最小值。计算完sdom(w)之后，我们把w扔进sdom(w)的一个集合里，(Tarjan的论文中)记为bucket[sdom(w)]。接着就计算idom中的第一种情况，取bucket[fa(w)]中的所有点v，再取u=eval(v)，若sdom(u)<sdom(v)，说明此时的v不满足第一种情况，但是我们仍然计算出了第二种情况中的u，所以先记idom(v)=u；否则idom(v)=fa(w)，即为第一种情况。这样扫完一遍之后，第二种情况中的v的idom还没完全求出，只需要顺着再扫一遍所有点直接求出即可。

时间复杂度

link直接连边eval的时候直接用路径压缩并查集的话时间复杂度是O(mlogn)的。通过神奇的link技巧可以降为O(mα(n,m))但是常数巨大跑起来和一个log差不多。。。带启发式合并的话具体还是看tarjan论文吧。。。

代码实现

变量初值默认为0，图的起点为1。

void dfs(int u) {
sdom[u] = ++ dfs_clock;
idx[dfs_clock] = u;
label[u] = u;
for (int v: G[u]) {
if (!sdom[v])
dfs(v) , fa[v] = u;
_G[v].pb(u);
}
}

inline void compress(int u) {
if (anc[anc[u]]) {
compress(anc[u]);
if (sdom[label[anc[u]]] < sdom[label[u]])
label[u] = label[anc[u]];
anc[u] = anc[anc[u]];
}
}

inline int eval(int u) {
return anc[u] ? (compress(u) , label[u]) : u;
}

inline void link(int p , int u) {
anc[u] = p;
}

void solve() {
dfs(1);
per (i , dfs_clock , 2) {
int u = idx[i];
for (int v: _G[u])
upmin(sdom[u] , sdom[eval(v)]);
int t = fa[u];
link(t , u) , bucket[idx[sdom[u]]].pb(u);
for (int v: bucket[t]) {
int w = eval(v);
idom[v] = sdom[w] < sdom[v] ? w : t;
}
bucket[t].clear();
}
rep (i , 2 , dfs_clock) {
int u = idx[i];
if (idom[u] != idx[sdom[u]])
idom[u] = idom[idom[u]];
}
}

几个题目

感觉都挺套路/裸的啊。。。不知道有没有啥有意思点的题。。。

hdu 4694

直接求dom tree。。

Codechef GRAPHCNT

建出dom tree直接扫。。

2014-2015 ACM-ICPC, NEERC, Southern Subregional Contest, Problem L

稍微有一点思考价值的题。。。但是知道这个要用dom tree的话结论是比较显然的。。。

References

其实基本上就是把tarjan的论文翻译了一遍而已hhhhhh

1. THOMAS LENGAUER and ROBERT ENDRE TARJAN ,A Fast Algorithm for Finding Dominators in a Flowgraph .

2. TARJAN, R.E. Applications of path compression on balanced trees.