LeetCode53. Maximum Subarray (子数组的最大和) 解题思路方法

最大连续子序列和，非常经典的题。

当我们从头到尾遍历这个数组的时候，对于数组里的一个整数，它有几种选择呢？它只有两种选择： 1、加入之前的SubArray；2. 自己另起一个SubArray。那什么时候会出现这两种情况呢？

如果之前SubArray的总体和大于0的话，我们认为其对后续结果是有贡献的。这种情况下我们选择加入之前的SubArray

如果之前SubArray的总体和为0或者小于0的话，我们认为其对后续结果是没有贡献，甚至是有害的（小于0时）。这种情况下我们选择以这个数字开始，另起一个SubArray。

设状态为{f[j]}，表示以{S[j]}结尾的最大连续子序列和，则状态转移方程如下：

f[j]target==max{f[j−1]+S[j],S[j]}, 其中 1≤j≤nmax{f[j]}, 其中 1≤j≤n

自己参考 法1的解法

对于 -2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4   试一次就知道

public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {

int n = nums.length;
int sum = nums[n - 1];
int maxSum = sum;

for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
sum = max(nums[i], sum + nums[i]);
maxSum = max(maxSum, sum);
}

return maxSum;
}

int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
}

方法I：动态规划

另sum[i]表示从i开始的最大子串和，则有递推公式：sum[i] = max{A[i], A[i] + sum[i+1]}

因为递推式只用到了后一项，所以在编码实现的时候可以进行状态压缩，用一个变量即可

代码：

 1 int maxSubArray(int A[], int n) {
2   int subsum = A[n - 1];
3   int maxSum = subsum;
4
5   for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
6 subsum = max(A[i], subsum + A[i]);
7 maxSum = max(maxSum, subsum);
8   }
9
10   return maxSum;
11 }

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

 

方法II：扫描法（姑且这么称呼吧）

这是网上比较流行的一种做法，本质上还是动态规划+状态压缩。参考这篇博文

代码：

 1 int maxSubArray(int A[], int n) {
2   if (n == 0)
3 return 0;
4
5   int max_ending_here = A[0];
6   int max_so_far = A[0];
7   for(int i = 1; i < n; ++i)
8 {
9   if (max_ending_here < 0)
10 // So far we get negative values, this part has to be dropped
11 max_ending_here = A[i];
12   else
13 // we can accept it, it could grow later
14 max_ending_here += A[i];
15
16   max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here);
17 }
18   return max_so_far;
19 }

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

 

方法III：分治法

假设求A[l..r]的最大子串和

首先将其分成两半A[l..m]和A[m+1..r]，其中m=(l+r)/2，并分别求递归求出这两半的最大子串和，不妨称为left，right。如下图所示：



A[l..r]的连续子串和可能出现在左半边（即left），或者可能出现在右半边（即right），还可能出现在横跨左右两半的地方（即middle），如下图橙色部分所示：



当然，middle完全有可能覆盖left或right，它可能的范围入下图所示：



那么，如何求middle？貌似没有什么简单的方法，只能从中间向两遍扫，也就是把上图种的范围扫一遍。具体怎么扫呢？见方法I和方法II

是不是突然觉得很坑爹？既然知道最后求middle要扫一遍，还不如一开始就从l到r扫一遍求max得了，还费什么劲儿求left和right呢？求left和right的作用仅限于缩小扫描的范围。

代码：

 1 int diveNConquer(int A[], int l, int r) {
2   if (l == r)
3 return A[l];
4
5   int m = (l + r) / 2;
6   int left = diveNConquer(A, l, m);
7   int right = diveNConquer(A, m + 1, r);
8   int middle = A[m];
9   for (int i = m - 1, tmp = middle; i >= l; i--) {
10 tmp += A[i];
11 middle = max(middle, tmp);
12   }
13   for (int i = m + 1, tmp = middle; i <= r; i++) {
14 tmp += A[i];
15 middle = max(middle, tmp);
16   }
17
18   return max(middle, max(left, right));
19 }
20
21 int maxSubArray(int A[], int n) {
22   return diveNConquer(A, 0, n - 1);
23 }

分析一下时间复杂度，设问题的工作量是T(n)，则有T(n) = 2T(n/2) + O(n)，解得T(n) = O(nlogn)。看看，效率反而低了不少。