动态规划（dynamic programming）及示例（矩阵连乘、最长公共子序列、三角剖分）

动态规划是一个比较重要的算法思想，只要学了算法相关课程，一定会有这一章节。我会介绍动态规划的主要思想，也会在后面用Java实现几个经典算法（矩阵连乘、最长公共子序列、多边形三角剖分）作为示例加深理解。

动态规划通常用来解决最优化问题（optimization problem）。通常有4个步骤（先粗略看一下，了解了示例后再返回来看）：

刻画一个最优解的结构特征；

递归地定义最优解地值；

计算最优解地值，通常采用自底向上地方法；

利用计算出的信息构造一个最优解。

矩阵连乘

问题描述：

给定一个n个矩阵地序列（矩阵链）<A1,A2, ... ,AN>，我们希望计算他们的乘积    A1*A2* ... *AN 。 计算这样一个式子可以有不同相乘顺序，而且计算复杂度也不尽相同，我们希望找到复杂度最小的相乘顺序。

例如，A1为 10*100 的矩阵，A2为100*5 的矩阵，A3为 5*50 的矩阵

（（A1*A2)A3) ）的复杂度：10*100*5+10*5*50=7500

（A1（A2*A3））的复杂度：100*5*50+10*100*50=750000

两种顺序计算复杂度大不相同。

要解决这一问题，最易想到的方法是穷尽所有可能，然后找出最小的，可是下图给出这种方法的计算复杂度（太大不可行）：



但是经过分析，我们发现，这一问题（同时也是所有动态规划问题）有两个特点：

1.最优子结构：假设最后一个顺序是这样的（A1*A2 … AK)(AK+1* … * AN) ， 那么（A1*A2 … AK） 和（AK+1* … * AN>）的最优顺序跟（A1-AN）相应顺序是一样的；

2.重复子问题：假设我们用分治法，自顶向下解决的话，会有一些子问题是重复的（所以才有优化空间）；如图



根据最优子结构特征，我可以得到如下复杂度递归式：



式中 m[I,j]表示Ai到Aj 的最小相乘复杂度。 那么我们写出递归式以后就直接写递归算法去解决了吗？并不可以，因为递归解决的话重复子问题实际是重复计算了的

所以要自底向上，如图我们要求m[1,5]的话，先算斜边的m[1,1] … m[5,5] 再算m[1,2] … m[4,5]最后就得到m[1,5]：



代码如下，用java完成，同时也记录了切分点。

public class Matrix_Chain_Order {
public static void main(String[] args) {
int[] p={30,35,15,5,10,20,25};//用一个数组表示各个矩阵的维度，7个数字代表6个数组相乘
int[][] m=new int[7][7];//二维数组存储m[i,j]， 为了表示方便我用了7维数组，实际6维就足够了
//初始化时矩阵里都为零，所以像m[1,1] m[2,2]就不用置零了。
int[][] mark=new int[7][7];//存储切分处
for(int l=1;l<=5;l++){//表示m[i,j]中  j-i 的值
for(int i=1;i<=6-l;i++){//表示每一次要算的斜边数组
int j=i+l;
m[i][j]=1000000000;//先置一个大数，要保证它比最复杂的矩阵乘法复杂度还大
for(int k=i;k<j;k++){//找到最小的m[i,j]
int dex=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(dex<m[i][j]){
m[i][j]=dex;
mark[i][j]=j;//记录切分处
}
}
}
}
System.out.println(m[1][6]);
}
}

精力所限，马上没有时间去实现凸多边形三角剖分跟最长公共子序列了，以后有时间会实现，我现在给一个链接，写得不错，可以作为参考。