【龙印】步进电机使用七段式抛物线型S曲线加减速和路径规划的理论分析和实现
2017-02-22 10:26
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本文为在用龙芯1c做3D打印机过程中的笔记。龙芯1c做的3d打印机简称“龙印”，Git地址“http://git.oschina.NET/caogos/marlin_ls1c”
常见的S曲线有抛物线型和三角函数型。这里主要探讨抛物线型。这里说的抛物线指的是速度曲线为抛物线，加速度的曲线却为梯形曲线。同样marlin中使用的梯形曲线也指的是速度曲线。
注意观察与后面的抛物线型S曲线的异同。
本文参考以下论文
常见的需求是从一点（一个坐标）运动到灵一点（另一个坐标），要求用最短的时间，但是最大速度不能超过某个值。
在实际应用中，如果需要运动的距离太短，可能还来不及加速度最大速度，甚至加速度都还没达到最大值。这时可能就没有加加速阶段或者匀速阶段等。那么实际的速度曲线可能就是六段式，五段式，四段式抛物线型S曲线。
这就要求在路径规划时，需要根据每条路径的长短情况，选择不同的抛物线型S曲线。
其它网友有一种方案——将S曲线做成一张表，然后查表，实现S曲线加减速。假设每个路径的起点和终点速度都是v0，即从v0加速后再减速到v0。现在有两个不同长度的路径，但用的却是同一个表，同一个抛物线曲线，这会造成速度是连续的。加速度不连续，这点不太好理解，慢慢理解吧，呵呵！
四段式抛物线型S曲线
下面以四段式抛物线型S曲线为例详细讲解
加速度的加速度=h_max
a(t)=h_max*t
对a(t)求积分
v(t)=h_max/2*t*t+c
将(0,v0)代入，求得c=v0
所以，v(t)=h_max/2*t*t+v0
对v(t)求积分
s(t)=h_max/2/3*t*t*t+v0*t+c
将(0,0)代入，求得c=0
所以，s(t)=h_max/6*t*t*t+v0*t
[0,t1]之间的距离S = s(t1)-S(0) = s(t1) = h_max/6*t1*t1*t1 + v0*t1
在t=t1时，
a(t1)=h_max*t1
v(t1)=h_max/2*t1*t1+v0
s(t1)=h_max/6*t1*t1*t1+v0*t1
从t1到t2
[t1,t2]
a(t)=k*t+b
将(t1,h_max*t1)和(2*t1,0)代入，求得
k=-h_max
b=2*h_max*t1
那么，a(t)=-h_max*t+2*h_max*t1
对a(t)积分
v(t)=-h_max/2*t*t+2*h_max*t1*t+c
将t=t1时的速度代入,(t1,h_max/2*t1*t1+v0)
h_max/2*t1*t1+v0=h_max/2*t1*t1+2*h_max*t1*t1+c
求得
c = v0 - h_max*t1*t1
所以，v(t)=-h_max/2*t*t + 2*h_max*t1*t + v0-h_max*t1*t1
对v(t)积分
s(t)=-h_max/2/3*t*t*t + 2*h_max*t1/2*t*t + (v0-h_max*t1*t1)*t + c
=-h_max/6*t*t*t + h_max*t1*t*t + (v0-h_max*t1*t1)*t + c
将t=t1时的距离代入,(t1,h_max/6*t1*t1*t1+v0*t1)
h_max/6*t1*t1*t1 + v0*t1 = -h_max/6*t1*t1*t1 + h_max*t1*t1*t1 + (v0-2*h_max*t1*t1)*t1 + c
求得
c = 1/3*h_max*t1*t1*t1
所以，s(t)=-h_max/6*t*t*t + h_max*t1*t*t + (v0-h_max*t1*t1)*t + 1/3*h_max*t1*t1*t1
[t1,t2]之间的距离
S = s(t2) - s(t1)
= s(2*t1) - s(t1)
=[-h_max/6*(2*t1)*(2*t1)*(2*t1) + h_max*t1*(2*t1)*(2*t1) + (v0-h_max*t1*t1)*(2*t1)]
- [-h_max/6*t1*t1*t1 + h_max*t1*t1*t1 + (v0-h_max*t1*t1)*t]
=5/6*h_max*t1*t1*t1 + v0*t1
[0,t2]的距离
S[0,t1] + S[t1,t2]
=[h_max/6*t1*t1*t1 + v0*t1] + [5/6*h_max*t1*t1*t1 + v0*t1]
=h_max*t1*t1*t1 + 2*v0*t1
再回顾下v(t1)=h_max/2*t1*t1+v0，仔细对比你会发现[0,t2]的距离S=2*v(t1)*t1，其中t2=2*t1。
v0=6
h_max=5
t1=7
t2=14
在区间[0,7]
加速度公式
a(t)=5t
v(t)=5/2*t*t+c
代入(0,6)
6=c
速度公式
v(t)=2.5*t*t+6
s(t)=2.5/3*t*t*t+6t+c
代入(0,7)
s(t)=5/6*t*t*t+6t+7
[0,7]的距离
S=s(7)-s(0)
= (5/6*7*7*7 + 6*7 + 7) - (7)
= 5/6*7*7*7 + 6*7
= 327.83
t=7时
a(7)=35
v(7)=128.5
s(7)=2009/6=334.83
在区间[7,14]
a(t)=kx+b
代入(7,35)和(14,0)
35=7k+b
0=14k+b
k=-5
b=70
加速度公式
a(t)=-5t+70
v(t)=-5/2*t*t+70*t+c
代入(7,128.5)
128.5=-5/2*7*7+70*7+c
c=-239
速度公式
v(t)=-5/2*t*t+70*t-239
s(t)=-5/2/3*t*t*t+70/2*t*t-239*t+c
=-5/6*t*t*t + 35*t*t -239*t + c
代入(7,2009/6)
2009/6=-5/6*7*7*7 + 35*7*7 - 239*7 + c
=-1715/6 + 1715 - 1673 + c
=-1715/6 + 42 + c
c = 2009/6 + 1715/6 + 42
= 3724/6 + 42
= 662.67
面积公式
s(t)=-5/6*t*t*t + 35*t*t - 239*t + c
[7,14]的面积
S=s(14)-s(7)
= (-5/6*14*14*14 + 35*14*14 - 239*14 + c) - (-5/6*7*7*7 + 35*7*7 - 239*7 + c)
= -13720/6 + 3514 - (-1715/6 + 42)
= -13720/6 + 3514 + 1715/6 - 42
=-12005/6 + 3472
=-2000.83 + 3472
=1471.17
[0,14]的距离
[0,7]的距离+[7,14]的距离
S = 327.83 + 1471.17
= 1799
应用前面推论得到的公式
S = h_max*t1*t1*t1 + 2*v0*t1
= 5*7*7*7+2*6*7
= 1799
根据推论：[0,t2]的距离S=2*v(t1)*t1，其中t2=2*t1
S=2*v(7)*7=2*128.5*7=1799
实际计算结果和以上推论是相符合的，说明公式是正确的。
由四段式抛物线的加速度曲线可知：当t=t1时加速度最大，即a(t1)=h_max*t1=10*t1=20mm/s2，求得t1=2s。
根据T=s/v，即时间=运行的距离/速度
再有，给步进电机一个脉冲，步进电机走一步，即定时器的定时时间内，步进电机运行的距离为一个（微）步。步进电机一个微步的距离micro_step_mm=0.01mm，即s=0.01mm。
速度v可以用加加速阶段的速度计算公式v(t)=h_max/2*t*t+v0=10/2*t*t+10=5*t*t+10。
综上所述，定时器周期T=s/v=0.01/(5*t*t+10)，单位为秒。
将定时器周期T转换为微秒T_us=T*1000000=0.01*1000000/(5*t*t+10)=10000/(5*t*t+10)，
再将时间t转换为微秒t_us后得，
T_us
= 10000 / (5*(t_us/1000000)*(t_us/1000000)+10)
= 10000 / (5*t_us*t_us/1000000/1000000+10)
为避免t_us*t_us溢出，将t_us/1000再相乘，变换后得
T_us=10000/(5*(t_us/1000)*(t_us/1000)/1000/1000 + 10)
当t_us<10秒时，不会溢出。10s可以跑很远了，对大部分打印机来说，一条G指令执行时间不会超过10s。
虽然龙芯1c定时器的时钟频率为126Mhz，定时精度小于1us，但对于3d打印机来说，精度为1us就已经足够了，如果将定时器时间改为纳秒级，时间值就是很大的整数，t_ns*t_ns很容易溢出。所以将定时器精度定为1us。
计算定时器周期T_us的表达式中，中分母最小为10。当分母为11时，计算得到的T_us=909，与分母为10时的T_us=1000相差很大。
为了进一步减小误差，将分子分母同时乘以100，得
T_us=10000*100/(100 * (5*(t_us/1000)*(t_us/1000)/1000/1000+10) )
整理后得
T_us=1000000/(5*(t_us/1000)*(t_us/1000)/10000+1000)
分母最小为1000，对应的T_us=1000us，当分母为1001时，T_us=999us，由此可知已达到定时器周期精度为1us的要求。这很重要，如果计算出来的定时器周期跳变很大，也会导致步进电机加速度不连续，即实现的和理论的偏差很大，那样的话就失去了抛物线加减速的意义了。
// 测试驱动中进行定点运算
static void motor_test(void)
{
unsigned int t_i_us;
unsigned int t_sum_us;
unsigned int T_i_us;
int i;
t_sum_us = 1000;
i=1;
for ( ; 1000000>t_sum_us; )
{
t_i_us = t_sum_us;
T_i_us = 1000000 / (5*(t_i_us/1000)*(t_i_us/1000)/10000+1000);
t_sum_us += T_i_us;
printk(KERN_INFO "[%s] i=%d, t_sum_us=%d, T_i_us=%d\n", __FUNCTION__, i, t_sum_us, T_i_us);
i++;
}
return ;
}
[motor_test] i=1, t_sum_us=2000, T_i_us=1000
[motor_test] i=2, t_sum_us=3000, T_i_us=1000
[motor_test] i=3, t_sum_us=4000, T_i_us=1000
[motor_test] i=4, t_sum_us=5000, T_i_us=1000
[motor_test] i=5, t_sum_us=6000, T_i_us=1000
[motor_test] i=6, t_sum_us=7000, T_i_us=1000
[motor_test] i=7, t_sum_us=8000, T_i_us=1000
[motor_test] i=8, t_sum_us=9000, T_i_us=1000
[motor_test] i=9, t_sum_us=10000, T_i_us=1000
[motor_test] i=10, t_sum_us=11000, T_i_us=1000
[motor_test] i=11, t_sum_us=12000, T_i_us=1000
[motor_test] i=12, t_sum_us=13000, T_i_us=1000
[motor_test] i=13, t_sum_us=14000, T_i_us=1000
[motor_test] i=14, t_sum_us=15000, T_i_us=1000
[motor_test] i=15, t_sum_us=16000, T_i_us=1000
[motor_test] i=16, t_sum_us=17000, T_i_us=1000
[motor_test] i=17, t_sum_us=18000, T_i_us=1000
[motor_test] i=18, t_sum_us=19000, T_i_us=1000
[motor_test] i=19, t_sum_us=20000, T_i_us=1000
[motor_test] i=20, t_sum_us=21000, T_i_us=1000
[motor_test] i=21, t_sum_us=22000, T_i_us=1000
[motor_test] i=22, t_sum_us=23000, T_i_us=1000
[motor_test] i=23, t_sum_us=24000, T_i_us=1000
[motor_test] i=24, t_sum_us=25000, T_i_us=1000
[motor_test] i=25, t_sum_us=26000, T_i_us=1000
[motor_test] i=26, t_sum_us=27000, T_i_us=1000
[motor_test] i=27, t_sum_us=28000, T_i_us=1000
[motor_test] i=28, t_sum_us=29000, T_i_us=1000
[motor_test] i=29, t_sum_us=30000, T_i_us=1000
[motor_test] i=30, t_sum_us=31000, T_i_us=1000
[motor_test] i=31, t_sum_us=32000, T_i_us=1000
[motor_test] i=32, t_sum_us=33000, T_i_us=1000
[motor_test] i=33, t_sum_us=34000, T_i_us=1000
[motor_test] i=34, t_sum_us=35000, T_i_us=1000
[motor_test] i=35, t_sum_us=36000, T_i_us=1000
[motor_test] i=36, t_sum_us=37000, T_i_us=1000
[motor_test] i=37, t_sum_us=38000, T_i_us=1000
[motor_test] i=38, t_sum_us=39000, T_i_us=1000
[motor_test] i=39, t_sum_us=40000, T_i_us=1000
[motor_test] i=40, t_sum_us=41000, T_i_us=1000
[motor_test] i=41, t_sum_us=42000, T_i_us=1000
[motor_test] i=42, t_sum_us=43000, T_i_us=1000
[motor_test] i=43, t_sum_us=44000, T_i_us=1000
[motor_test] i=44, t_sum_us=45000, T_i_us=1000
[motor_test] i=45, t_sum_us=45999, T_i_us=999
[motor_test] i=46, t_sum_us=46998, T_i_us=999
[motor_test] i=47, t_sum_us=47997, T_i_us=999
[motor_test] i=48, t_sum_us=48996, T_i_us=999
[motor_test] i=49, t_sum_us=49995, T_i_us=999
[motor_test] i=50, t_sum_us=50994, T_i_us=999
[motor_test] i=51, t_sum_us=51993, T_i_us=999
[motor_test] i=52, t_sum_us=52992, T_i_us=999
[motor_test] i=53, t_sum_us=53991, T_i_us=999
[motor_test] i=54, t_sum_us=54990, T_i_us=999
[motor_test] i=55, t_sum_us=55989, T_i_us=999
[motor_test] i=56, t_sum_us=56988, T_i_us=999
[motor_test] i=57, t_sum_us=57987, T_i_us=999
[motor_test] i=58, t_sum_us=58986, T_i_us=999
[motor_test] i=59, t_sum_us=59985, T_i_us=999
[motor_test] i=60, t_sum_us=60984, T_i_us=999
[motor_test] i=61, t_sum_us=61983, T_i_us=999
[motor_test] i=62, t_sum_us=62982, T_i_us=999
[motor_test] i=63, t_sum_us=63981, T_i_us=999
[motor_test] i=64, t_sum_us=64980, T_i_us=999
[motor_test] i=65, t_sum_us=65978, T_i_us=998
[motor_test] i=66, t_sum_us=66976, T_i_us=998
[motor_test] i=67, t_sum_us=67974, T_i_us=998
[motor_test] i=68, t_sum_us=68972, T_i_us=998
[motor_test] i=69, t_sum_us=69970, T_i_us=998
[motor_test] i=70, t_sum_us=70968, T_i_us=998
[motor_test] i=71, t_sum_us=71966, T_i_us=998
[motor_test] i=72, t_sum_us=72964, T_i_us=998
[motor_test] i=73, t_sum_us=73962, T_i_us=998
[motor_test] i=74, t_sum_us=74960, T_i_us=998
[motor_test] i=75, t_sum_us=75958, T_i_us=998
[motor_test] i=76, t_sum_us=76956, T_i_us=998
[motor_test] i=77, t_sum_us=77954, T_i_us=998
[motor_test] i=78, t_sum_us=78952, T_i_us=998
[motor_test] i=79, t_sum_us=79949, T_i_us=997
[motor_test] i=80, t_sum_us=80946, T_i_us=997
[motor_test] i=81, t_sum_us=81943, T_i_us=997
[motor_test] i=82, t_sum_us=82940, T_i_us=997
[motor_test] i=83, t_sum_us=83937, T_i_us=997
[motor_test] i=84, t_sum_us=84934, T_i_us=997
[motor_test] i=85, t_sum_us=85931, T_i_us=997
[motor_test] i=86, t_sum_us=86928, T_i_us=997
[motor_test] i=87, t_sum_us=87925, T_i_us=997
[motor_test] i=88, t_sum_us=88922, T_i_us=997
[motor_test] i=89, t_sum_us=89919, T_i_us=997
[motor_test] i=90, t_sum_us=90916, T_i_us=997
[motor_test] i=91, t_sum_us=91912, T_i_us=996
[motor_test] i=92, t_sum_us=92908, T_i_us=996
[motor_test] i=93, t_sum_us=93904, T_i_us=996
[motor_test] i=94, t_sum_us=94900, T_i_us=996
[motor_test] i=95, t_sum_us=95896, T_i_us=996
[motor_test] i=96, t_sum_us=96892, T_i_us=996
[motor_test] i=97, t_sum_us=97888, T_i_us=996
[motor_test] i=98, t_sum_us=98884, T_i_us=996
[motor_test] i=99, t_sum_us=99880, T_i_us=996
[motor_test] i=100, t_sum_us=100876, T_i_us=996
[motor_test] i=101, t_sum_us=101871, T_i_us=995
[motor_test] i=102, t_sum_us=102866, T_i_us=995
[motor_test] i=103, t_sum_us=103861, T_i_us=995
[motor_test] i=104, t_sum_us=104856, T_i_us=995
[motor_test] i=105, t_sum_us=105851, T_i_us=995
[motor_test] i=106, t_sum_us=106846, T_i_us=995
[motor_test] i=107, t_sum_us=107841, T_i_us=995
[motor_test] i=108, t_sum_us=108836, T_i_us=995
[motor_test] i=109, t_sum_us=109831, T_i_us=995
[motor_test] i=110, t_sum_us=110826, T_i_us=995
[motor_test] i=111, t_sum_us=111820, T_i_us=994
[motor_test] i=112, t_sum_us=112814, T_i_us=994
[motor_test] i=113, t_sum_us=113808, T_i_us=994
[motor_test] i=114, t_sum_us=114802, T_i_us=994
[motor_test] i=115, t_sum_us=115796, T_i_us=994
[motor_test] i=116, t_sum_us=116790, T_i_us=994
[motor_test] i=117, t_sum_us=117784, T_i_us=994
[motor_test] i=118, t_sum_us=118778, T_i_us=994
[motor_test] i=119, t_sum_us=119772, T_i_us=994
[motor_test] i=120, t_sum_us=120765, T_i_us=993
[motor_test] i=121, t_sum_us=121758, T_i_us=993
[motor_test] i=122, t_sum_us=122751, T_i_us=993
[motor_test] i=123, t_sum_us=123744, T_i_us=993
[motor_test] i=124, t_sum_us=124737, T_i_us=993
[motor_test] i=125, t_sum_us=125730, T_i_us=993
[motor_test] i=126, t_sum_us=126723, T_i_us=993
[motor_test] i=127, t_sum_us=127716, T_i_us=993
[motor_test] i=128, t_sum_us=128708, T_i_us=992
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……
……
……
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[motor_test] i=1166, t_sum_us=1000436, T_i_us=667
这是截取串口打印的一部分，从这个结果可以看出——定时器的定时时间T_i_us在相邻两个中变化量小于等于1us。当然有需要的话，还可以进一步优化。
经过测试发现，我手上这款三角洲3d打印机的启动速度可以达到30mm/s，并且以30mm/s的速度匀速（不加减速）打印，能够达到较好的打印质量。关键是我以30mm/s的速度打印时，感觉机器的动静有点大，当时买的是滑车版，不知道光轴版和线轨版是不是会好些。另外，我当时买的是DIY套件，商家推荐把速度设为20mm/s，这样打印质量会好些。但我看到有些大神的视频中进给率都达到7000了，换算为速度超过100mm/s。虽然我坚信可以把速度加上去，对于是否有必要实现加减速算法，还处于思考中。暂时就这样吧！
在找S曲线加减速的资料时，发现网上很少关于S曲线加减速的路径规划方面的资料，所以决定在这里将目前搜集整理的资料分享给大家，希望对你有帮助，谢谢！
是否使用硬件浮点是由定点运算精度是否达到要求决定。
理论分析
S曲线算法的核心思想是让加速度不产生突变，从而使被控对象的速度控制具有快速、平稳的特性。这就回答了为什么要使用S曲线的原因。常见的S曲线有抛物线型和三角函数型。这里主要探讨抛物线型。这里说的抛物线指的是速度曲线为抛物线，加速度的曲线却为梯形曲线。同样marlin中使用的梯形曲线也指的是速度曲线。
注意观察与后面的抛物线型S曲线的异同。
本文参考以下论文
七段式抛物线型S曲线
常见的需求是从一点（一个坐标）运动到灵一点（另一个坐标），要求用最短的时间，但是最大速度不能超过某个值。
在实际应用中，如果需要运动的距离太短，可能还来不及加速度最大速度，甚至加速度都还没达到最大值。这时可能就没有加加速阶段或者匀速阶段等。那么实际的速度曲线可能就是六段式，五段式，四段式抛物线型S曲线。
这就要求在路径规划时，需要根据每条路径的长短情况，选择不同的抛物线型S曲线。
其它网友有一种方案——将S曲线做成一张表，然后查表，实现S曲线加减速。假设每个路径的起点和终点速度都是v0，即从v0加速后再减速到v0。现在有两个不同长度的路径，但用的却是同一个表，同一个抛物线曲线，这会造成速度是连续的。加速度不连续，这点不太好理解，慢慢理解吧，呵呵！
六段式抛物线型S曲线
五段式抛物线型S曲线
四段式抛物线型S曲线
下面以四段式抛物线型S曲线为例详细讲解
从0到t1
[0,t1]加速度的加速度=h_max
a(t)=h_max*t
对a(t)求积分
v(t)=h_max/2*t*t+c
将(0,v0)代入，求得c=v0
所以，v(t)=h_max/2*t*t+v0
对v(t)求积分
s(t)=h_max/2/3*t*t*t+v0*t+c
将(0,0)代入，求得c=0
所以，s(t)=h_max/6*t*t*t+v0*t
[0,t1]之间的距离S = s(t1)-S(0) = s(t1) = h_max/6*t1*t1*t1 + v0*t1
在t=t1时，
a(t1)=h_max*t1
v(t1)=h_max/2*t1*t1+v0
s(t1)=h_max/6*t1*t1*t1+v0*t1
从t1到t2
[t1,t2]a(t)=k*t+b
将(t1,h_max*t1)和(2*t1,0)代入，求得
k=-h_max
b=2*h_max*t1
那么，a(t)=-h_max*t+2*h_max*t1
对a(t)积分
v(t)=-h_max/2*t*t+2*h_max*t1*t+c
将t=t1时的速度代入,(t1,h_max/2*t1*t1+v0)
h_max/2*t1*t1+v0=h_max/2*t1*t1+2*h_max*t1*t1+c
求得
c = v0 - h_max*t1*t1
所以，v(t)=-h_max/2*t*t + 2*h_max*t1*t + v0-h_max*t1*t1
对v(t)积分
s(t)=-h_max/2/3*t*t*t + 2*h_max*t1/2*t*t + (v0-h_max*t1*t1)*t + c
=-h_max/6*t*t*t + h_max*t1*t*t + (v0-h_max*t1*t1)*t + c
将t=t1时的距离代入,(t1,h_max/6*t1*t1*t1+v0*t1)
h_max/6*t1*t1*t1 + v0*t1 = -h_max/6*t1*t1*t1 + h_max*t1*t1*t1 + (v0-2*h_max*t1*t1)*t1 + c
求得
c = 1/3*h_max*t1*t1*t1
所以，s(t)=-h_max/6*t*t*t + h_max*t1*t*t + (v0-h_max*t1*t1)*t + 1/3*h_max*t1*t1*t1
[t1,t2]之间的距离
S = s(t2) - s(t1)
= s(2*t1) - s(t1)
=[-h_max/6*(2*t1)*(2*t1)*(2*t1) + h_max*t1*(2*t1)*(2*t1) + (v0-h_max*t1*t1)*(2*t1)]
- [-h_max/6*t1*t1*t1 + h_max*t1*t1*t1 + (v0-h_max*t1*t1)*t]
=5/6*h_max*t1*t1*t1 + v0*t1
[0,t2]的距离
S[0,t1] + S[t1,t2]
=[h_max/6*t1*t1*t1 + v0*t1] + [5/6*h_max*t1*t1*t1 + v0*t1]
=h_max*t1*t1*t1 + 2*v0*t1
再回顾下v(t1)=h_max/2*t1*t1+v0，仔细对比你会发现[0,t2]的距离S=2*v(t1)*t1，其中t2=2*t1。
用一个实际例子验证前面的公式
假设v0=6
h_max=5
t1=7
t2=14
在区间[0,7]
加速度公式
a(t)=5t
v(t)=5/2*t*t+c
代入(0,6)
6=c
速度公式
v(t)=2.5*t*t+6
s(t)=2.5/3*t*t*t+6t+c
代入(0,7)
s(t)=5/6*t*t*t+6t+7
[0,7]的距离
S=s(7)-s(0)
= (5/6*7*7*7 + 6*7 + 7) - (7)
= 5/6*7*7*7 + 6*7
= 327.83
t=7时
a(7)=35
v(7)=128.5
s(7)=2009/6=334.83
在区间[7,14]
a(t)=kx+b
代入(7,35)和(14,0)
35=7k+b
0=14k+b
k=-5
b=70
加速度公式
a(t)=-5t+70
v(t)=-5/2*t*t+70*t+c
代入(7,128.5)
128.5=-5/2*7*7+70*7+c
c=-239
速度公式
v(t)=-5/2*t*t+70*t-239
s(t)=-5/2/3*t*t*t+70/2*t*t-239*t+c
=-5/6*t*t*t + 35*t*t -239*t + c
代入(7,2009/6)
2009/6=-5/6*7*7*7 + 35*7*7 - 239*7 + c
=-1715/6 + 1715 - 1673 + c
=-1715/6 + 42 + c
c = 2009/6 + 1715/6 + 42
= 3724/6 + 42
= 662.67
面积公式
s(t)=-5/6*t*t*t + 35*t*t - 239*t + c
[7,14]的面积
S=s(14)-s(7)
= (-5/6*14*14*14 + 35*14*14 - 239*14 + c) - (-5/6*7*7*7 + 35*7*7 - 239*7 + c)
= -13720/6 + 3514 - (-1715/6 + 42)
= -13720/6 + 3514 + 1715/6 - 42
=-12005/6 + 3472
=-2000.83 + 3472
=1471.17
[0,14]的距离
[0,7]的距离+[7,14]的距离
S = 327.83 + 1471.17
= 1799
应用前面推论得到的公式
S = h_max*t1*t1*t1 + 2*v0*t1
= 5*7*7*7+2*6*7
= 1799
根据推论：[0,t2]的距离S=2*v(t1)*t1，其中t2=2*t1
S=2*v(7)*7=2*128.5*7=1799
实际计算结果和以上推论是相符合的，说明公式是正确的。
实现
用定点运算代替浮点运算
四段式抛物线型S曲线
假设，步进电机的初始速度v0=10mm/s，最大速度为100mm/s，最大加速度为20mm/s2，加速度的加速度h_max=10mm/s3。由四段式抛物线的加速度曲线可知：当t=t1时加速度最大，即a(t1)=h_max*t1=10*t1=20mm/s2，求得t1=2s。
从0到t1
以加加速阶段为例，看看如何在中断中计算定时器的周期根据T=s/v，即时间=运行的距离/速度
再有，给步进电机一个脉冲，步进电机走一步，即定时器的定时时间内，步进电机运行的距离为一个（微）步。步进电机一个微步的距离micro_step_mm=0.01mm，即s=0.01mm。
速度v可以用加加速阶段的速度计算公式v(t)=h_max/2*t*t+v0=10/2*t*t+10=5*t*t+10。
综上所述，定时器周期T=s/v=0.01/(5*t*t+10)，单位为秒。
将定时器周期T转换为微秒T_us=T*1000000=0.01*1000000/(5*t*t+10)=10000/(5*t*t+10)，
再将时间t转换为微秒t_us后得，
T_us
= 10000 / (5*(t_us/1000000)*(t_us/1000000)+10)
= 10000 / (5*t_us*t_us/1000000/1000000+10)
为避免t_us*t_us溢出，将t_us/1000再相乘，变换后得
T_us=10000/(5*(t_us/1000)*(t_us/1000)/1000/1000 + 10)
当t_us<10秒时，不会溢出。10s可以跑很远了，对大部分打印机来说，一条G指令执行时间不会超过10s。
虽然龙芯1c定时器的时钟频率为126Mhz，定时精度小于1us，但对于3d打印机来说，精度为1us就已经足够了，如果将定时器时间改为纳秒级，时间值就是很大的整数，t_ns*t_ns很容易溢出。所以将定时器精度定为1us。
计算定时器周期T_us的表达式中，中分母最小为10。当分母为11时，计算得到的T_us=909，与分母为10时的T_us=1000相差很大。
为了进一步减小误差，将分子分母同时乘以100，得
T_us=10000*100/(100 * (5*(t_us/1000)*(t_us/1000)/1000/1000+10) )
整理后得
T_us=1000000/(5*(t_us/1000)*(t_us/1000)/10000+1000)
分母最小为1000，对应的T_us=1000us，当分母为1001时，T_us=999us，由此可知已达到定时器周期精度为1us的要求。这很重要，如果计算出来的定时器周期跳变很大，也会导致步进电机加速度不连续，即实现的和理论的偏差很大，那样的话就失去了抛物线加减速的意义了。
// 测试驱动中进行定点运算
static void motor_test(void)
{
unsigned int t_i_us;
unsigned int t_sum_us;
unsigned int T_i_us;
int i;
t_sum_us = 1000;
i=1;
for ( ; 1000000>t_sum_us; )
{
t_i_us = t_sum_us;
T_i_us = 1000000 / (5*(t_i_us/1000)*(t_i_us/1000)/10000+1000);
t_sum_us += T_i_us;
printk(KERN_INFO "[%s] i=%d, t_sum_us=%d, T_i_us=%d\n", __FUNCTION__, i, t_sum_us, T_i_us);
i++;
}
return ;
}
测试结果
[LOONSON@3DPrinter:~]#/test/3dprinter_app[motor_test] i=1, t_sum_us=2000, T_i_us=1000
[motor_test] i=2, t_sum_us=3000, T_i_us=1000
[motor_test] i=3, t_sum_us=4000, T_i_us=1000
[motor_test] i=4, t_sum_us=5000, T_i_us=1000
[motor_test] i=5, t_sum_us=6000, T_i_us=1000
[motor_test] i=6, t_sum_us=7000, T_i_us=1000
[motor_test] i=7, t_sum_us=8000, T_i_us=1000
[motor_test] i=8, t_sum_us=9000, T_i_us=1000
[motor_test] i=9, t_sum_us=10000, T_i_us=1000
[motor_test] i=10, t_sum_us=11000, T_i_us=1000
[motor_test] i=11, t_sum_us=12000, T_i_us=1000
[motor_test] i=12, t_sum_us=13000, T_i_us=1000
[motor_test] i=13, t_sum_us=14000, T_i_us=1000
[motor_test] i=14, t_sum_us=15000, T_i_us=1000
[motor_test] i=15, t_sum_us=16000, T_i_us=1000
[motor_test] i=16, t_sum_us=17000, T_i_us=1000
[motor_test] i=17, t_sum_us=18000, T_i_us=1000
[motor_test] i=18, t_sum_us=19000, T_i_us=1000
[motor_test] i=19, t_sum_us=20000, T_i_us=1000
[motor_test] i=20, t_sum_us=21000, T_i_us=1000
[motor_test] i=21, t_sum_us=22000, T_i_us=1000
[motor_test] i=22, t_sum_us=23000, T_i_us=1000
[motor_test] i=23, t_sum_us=24000, T_i_us=1000
[motor_test] i=24, t_sum_us=25000, T_i_us=1000
[motor_test] i=25, t_sum_us=26000, T_i_us=1000
[motor_test] i=26, t_sum_us=27000, T_i_us=1000
[motor_test] i=27, t_sum_us=28000, T_i_us=1000
[motor_test] i=28, t_sum_us=29000, T_i_us=1000
[motor_test] i=29, t_sum_us=30000, T_i_us=1000
[motor_test] i=30, t_sum_us=31000, T_i_us=1000
[motor_test] i=31, t_sum_us=32000, T_i_us=1000
[motor_test] i=32, t_sum_us=33000, T_i_us=1000
[motor_test] i=33, t_sum_us=34000, T_i_us=1000
[motor_test] i=34, t_sum_us=35000, T_i_us=1000
[motor_test] i=35, t_sum_us=36000, T_i_us=1000
[motor_test] i=36, t_sum_us=37000, T_i_us=1000
[motor_test] i=37, t_sum_us=38000, T_i_us=1000
[motor_test] i=38, t_sum_us=39000, T_i_us=1000
[motor_test] i=39, t_sum_us=40000, T_i_us=1000
[motor_test] i=40, t_sum_us=41000, T_i_us=1000
[motor_test] i=41, t_sum_us=42000, T_i_us=1000
[motor_test] i=42, t_sum_us=43000, T_i_us=1000
[motor_test] i=43, t_sum_us=44000, T_i_us=1000
[motor_test] i=44, t_sum_us=45000, T_i_us=1000
[motor_test] i=45, t_sum_us=45999, T_i_us=999
[motor_test] i=46, t_sum_us=46998, T_i_us=999
[motor_test] i=47, t_sum_us=47997, T_i_us=999
[motor_test] i=48, t_sum_us=48996, T_i_us=999
[motor_test] i=49, t_sum_us=49995, T_i_us=999
[motor_test] i=50, t_sum_us=50994, T_i_us=999
[motor_test] i=51, t_sum_us=51993, T_i_us=999
[motor_test] i=52, t_sum_us=52992, T_i_us=999
[motor_test] i=53, t_sum_us=53991, T_i_us=999
[motor_test] i=54, t_sum_us=54990, T_i_us=999
[motor_test] i=55, t_sum_us=55989, T_i_us=999
[motor_test] i=56, t_sum_us=56988, T_i_us=999
[motor_test] i=57, t_sum_us=57987, T_i_us=999
[motor_test] i=58, t_sum_us=58986, T_i_us=999
[motor_test] i=59, t_sum_us=59985, T_i_us=999
[motor_test] i=60, t_sum_us=60984, T_i_us=999
[motor_test] i=61, t_sum_us=61983, T_i_us=999
[motor_test] i=62, t_sum_us=62982, T_i_us=999
[motor_test] i=63, t_sum_us=63981, T_i_us=999
[motor_test] i=64, t_sum_us=64980, T_i_us=999
[motor_test] i=65, t_sum_us=65978, T_i_us=998
[motor_test] i=66, t_sum_us=66976, T_i_us=998
[motor_test] i=67, t_sum_us=67974, T_i_us=998
[motor_test] i=68, t_sum_us=68972, T_i_us=998
[motor_test] i=69, t_sum_us=69970, T_i_us=998
[motor_test] i=70, t_sum_us=70968, T_i_us=998
[motor_test] i=71, t_sum_us=71966, T_i_us=998
[motor_test] i=72, t_sum_us=72964, T_i_us=998
[motor_test] i=73, t_sum_us=73962, T_i_us=998
[motor_test] i=74, t_sum_us=74960, T_i_us=998
[motor_test] i=75, t_sum_us=75958, T_i_us=998
[motor_test] i=76, t_sum_us=76956, T_i_us=998
[motor_test] i=77, t_sum_us=77954, T_i_us=998
[motor_test] i=78, t_sum_us=78952, T_i_us=998
[motor_test] i=79, t_sum_us=79949, T_i_us=997
[motor_test] i=80, t_sum_us=80946, T_i_us=997
[motor_test] i=81, t_sum_us=81943, T_i_us=997
[motor_test] i=82, t_sum_us=82940, T_i_us=997
[motor_test] i=83, t_sum_us=83937, T_i_us=997
[motor_test] i=84, t_sum_us=84934, T_i_us=997
[motor_test] i=85, t_sum_us=85931, T_i_us=997
[motor_test] i=86, t_sum_us=86928, T_i_us=997
[motor_test] i=87, t_sum_us=87925, T_i_us=997
[motor_test] i=88, t_sum_us=88922, T_i_us=997
[motor_test] i=89, t_sum_us=89919, T_i_us=997
[motor_test] i=90, t_sum_us=90916, T_i_us=997
[motor_test] i=91, t_sum_us=91912, T_i_us=996
[motor_test] i=92, t_sum_us=92908, T_i_us=996
[motor_test] i=93, t_sum_us=93904, T_i_us=996
[motor_test] i=94, t_sum_us=94900, T_i_us=996
[motor_test] i=95, t_sum_us=95896, T_i_us=996
[motor_test] i=96, t_sum_us=96892, T_i_us=996
[motor_test] i=97, t_sum_us=97888, T_i_us=996
[motor_test] i=98, t_sum_us=98884, T_i_us=996
[motor_test] i=99, t_sum_us=99880, T_i_us=996
[motor_test] i=100, t_sum_us=100876, T_i_us=996
[motor_test] i=101, t_sum_us=101871, T_i_us=995
[motor_test] i=102, t_sum_us=102866, T_i_us=995
[motor_test] i=103, t_sum_us=103861, T_i_us=995
[motor_test] i=104, t_sum_us=104856, T_i_us=995
[motor_test] i=105, t_sum_us=105851, T_i_us=995
[motor_test] i=106, t_sum_us=106846, T_i_us=995
[motor_test] i=107, t_sum_us=107841, T_i_us=995
[motor_test] i=108, t_sum_us=108836, T_i_us=995
[motor_test] i=109, t_sum_us=109831, T_i_us=995
[motor_test] i=110, t_sum_us=110826, T_i_us=995
[motor_test] i=111, t_sum_us=111820, T_i_us=994
[motor_test] i=112, t_sum_us=112814, T_i_us=994
[motor_test] i=113, t_sum_us=113808, T_i_us=994
[motor_test] i=114, t_sum_us=114802, T_i_us=994
[motor_test] i=115, t_sum_us=115796, T_i_us=994
[motor_test] i=116, t_sum_us=116790, T_i_us=994
[motor_test] i=117, t_sum_us=117784, T_i_us=994
[motor_test] i=118, t_sum_us=118778, T_i_us=994
[motor_test] i=119, t_sum_us=119772, T_i_us=994
[motor_test] i=120, t_sum_us=120765, T_i_us=993
[motor_test] i=121, t_sum_us=121758, T_i_us=993
[motor_test] i=122, t_sum_us=122751, T_i_us=993
[motor_test] i=123, t_sum_us=123744, T_i_us=993
[motor_test] i=124, t_sum_us=124737, T_i_us=993
[motor_test] i=125, t_sum_us=125730, T_i_us=993
[motor_test] i=126, t_sum_us=126723, T_i_us=993
[motor_test] i=127, t_sum_us=127716, T_i_us=993
[motor_test] i=128, t_sum_us=128708, T_i_us=992
[motor_test] i=129, t_sum_us=129700, T_i_us=992
[motor_test] i=130, t_sum_us=130692, T_i_us=992
[motor_test] i=131, t_sum_us=131684, T_i_us=992
[motor_test] i=132, t_sum_us=132676, T_i_us=992
[motor_test] i=133, t_sum_us=133668, T_i_us=992
[motor_test] i=134, t_sum_us=134660, T_i_us=992
[motor_test] i=135, t_sum_us=135652, T_i_us=992
[motor_test] i=136, t_sum_us=136643, T_i_us=991
[motor_test] i=137, t_sum_us=137634, T_i_us=991
[motor_test] i=138, t_sum_us=138625, T_i_us=991
[motor_test] i=139, t_sum_us=139616, T_i_us=991
[motor_test] i=140, t_sum_us=140607, T_i_us=991
[motor_test] i=141, t_sum_us=141598, T_i_us=991
[motor_test] i=142, t_sum_us=142589, T_i_us=991
[motor_test] i=143, t_sum_us=143579, T_i_us=990
[motor_test] i=144, t_sum_us=144569, T_i_us=990
[motor_test] i=145, t_sum_us=145559, T_i_us=990
[motor_test] i=146, t_sum_us=146549, T_i_us=990
[motor_test] i=147, t_sum_us=147539, T_i_us=990
[motor_test] i=148, t_sum_us=148529, T_i_us=990
[motor_test] i=149, t_sum_us=149519, T_i_us=990
[motor_test] i=150, t_sum_us=150508, T_i_us=989
[motor_test] i=151, t_sum_us=151497, T_i_us=989
[motor_test] i=152, t_sum_us=152486, T_i_us=989
[motor_test] i=153, t_sum_us=153475, T_i_us=989
[motor_test] i=154, t_sum_us=154464, T_i_us=989
[motor_test] i=155, t_sum_us=155453, T_i_us=989
[motor_test] i=156, t_sum_us=156441, T_i_us=988
[motor_test] i=157, t_sum_us=157429, T_i_us=988
[motor_test] i=158, t_sum_us=158417, T_i_us=988
[motor_test] i=159, t_sum_us=159405, T_i_us=988
[motor_test] i=160, t_sum_us=160393, T_i_us=988
[motor_test] i=161, t_sum_us=161381, T_i_us=988
[motor_test] i=162, t_sum_us=162369, T_i_us=988
[motor_test] i=163, t_sum_us=163356, T_i_us=987
[motor_test] i=164, t_sum_us=164343, T_i_us=987
[motor_test] i=165, t_sum_us=165330, T_i_us=987
[motor_test] i=166, t_sum_us=166317, T_i_us=987
[motor_test] i=167, t_sum_us=167304, T_i_us=987
[motor_test] i=168, t_sum_us=168291, T_i_us=987
[motor_test] i=169, t_sum_us=169277, T_i_us=986
[motor_test] i=170, t_sum_us=170263, T_i_us=986
[motor_test] i=171, t_sum_us=171249, T_i_us=986
[motor_test] i=172, t_sum_us=172235, T_i_us=986
[motor_test] i=173, t_sum_us=173221, T_i_us=986
[motor_test] i=174, t_sum_us=174207, T_i_us=986
[motor_test] i=175, t_sum_us=175192, T_i_us=985
[motor_test] i=176, t_sum_us=176177, T_i_us=985
[motor_test] i=177, t_sum_us=177162, T_i_us=985
[motor_test] i=178, t_sum_us=178147, T_i_us=985
[motor_test] i=179, t_sum_us=179132, T_i_us=985
[motor_test] i=180, t_sum_us=180116, T_i_us=984
[motor_test] i=181, t_sum_us=181100, T_i_us=984
[motor_test] i=182, t_sum_us=182084, T_i_us=984
[motor_test] i=183, t_sum_us=183068, T_i_us=984
[motor_test] i=184, t_sum_us=184052, T_i_us=984
[motor_test] i=185, t_sum_us=185036, T_i_us=984
[motor_test] i=186, t_sum_us=186019, T_i_us=983
[motor_test] i=187, t_sum_us=187002, T_i_us=983
[motor_test] i=188, t_sum_us=187985, T_i_us=983
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这是截取串口打印的一部分，从这个结果可以看出——定时器的定时时间T_i_us在相邻两个中变化量小于等于1us。当然有需要的话，还可以进一步优化。
经过测试发现，我手上这款三角洲3d打印机的启动速度可以达到30mm/s，并且以30mm/s的速度匀速（不加减速）打印，能够达到较好的打印质量。关键是我以30mm/s的速度打印时，感觉机器的动静有点大，当时买的是滑车版，不知道光轴版和线轨版是不是会好些。另外，我当时买的是DIY套件，商家推荐把速度设为20mm/s，这样打印质量会好些。但我看到有些大神的视频中进给率都达到7000了，换算为速度超过100mm/s。虽然我坚信可以把速度加上去，对于是否有必要实现加减速算法，还处于思考中。暂时就这样吧！
在找S曲线加减速的资料时，发现网上很少关于S曲线加减速的路径规划方面的资料，所以决定在这里将目前搜集整理的资料分享给大家，希望对你有帮助，谢谢！
使用硬件浮点运算单元
龙芯1c支持硬件浮点运算，但为了避免在中断中进行浮点运算，需要将浮点运算放在中断的下半部。是否使用硬件浮点是由定点运算精度是否达到要求决定。
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