压缩感知（一）

压缩感知的提出基于一个非常朴素的问题，Ax=b能否有唯一解，当方程个数大于未知量个数时，这是肯定的。



但是当m<<n时，特别是当所求的x的值只集中在某些区域，就很难获得所需的答案。



当x满足一定的稀疏性时，就能够获得一定的唯一解。其中s-稀疏向量的定义如下

∑s:={x∈ℝN:||x||0≤s}

压缩感知就是基于对原信号的观测y，其中y=Θx0，y∈ℝn，x∈ℝN，在n<<N的情况下，借助x0的稀疏性，反求原信号x。

原理

Rn到RN的映射记为Δ，则还原效果可以表示为||x0−Δ(Θx0)||X，其中X表示一定范数。当x0中非0元素较少时，一种自然的解码即是如下规划问题的解

P0：minx∈ℝN||x||0s.t.Θx=y

如果我们对Θ作一定的限制，由P0就可以精确恢复x信号：

定理 假定Θ∈ℝn∗N是一个任2s列均线性无关的矩阵。我们选择P0解码。那么对于任意的x0∈∑s，

Δ(Θx0)=x0

上述定理即表示为了恢复嵌入在N维空间中的s-稀疏向量，需要2s次的观测。但是实际上P0是一个NP完全问题，为此，付出更多观测代价，找到以下更有效的算法，

P1：minx∈ℝN||x||1s.t.Θx=y

上述规划问题可以转换为以下形式，

P2：mint∈ℝNt1+t2+...+tNs.t.Θx=yti≥0,i=1,2,...,N.−tj≤xj≤tj

为了得到P0和P1等价的条件，首先定义指标集T⊂{1,...,N}及向量v∈ℝN，将v中指标在T中的元素取出构成新的向量vT∈ℝ#T。

定义 称Θ满足s-阶零空间性质，如果任意的v∈kerΘ，均有

||vT||1≤||vTc||1,对任意的T⊂{1,...,N},#T=s.

上述定义可以理解为kerΘ的非零元素较为均匀地分布，而不是集中在某s个元素上。

定义 如果选择P1的解法，Θ满足且仅满足s-阶零空间性质，那么，对于任意的x0∈∑s，

Δ(Θx0)=x0

但是给定一个矩阵的零空间性质很难在理论或者计算上证明，因此提出了另一种刻画方式矩阵的RIP性质(RestrictedIsometryProperty)。

定义 如果存在常数σs∈[0,1)使得

(1−σs)||x||2≤||Θx||2≤(1−σs)||x||2

对任意的x∈∑s成立，其中σs被称为RIP常数。上述定义可以理解为矩阵ΘTTΘT所有特征值位于区间[1−σs,1+σs]，刻画了矩阵Θ中任取s列所形成矩阵的正交程度。

下面给出P1能精确s-稀疏信号的充分条件，

定理 假定矩阵Θ满足2s阶RIP性质，且RIP常数σ2s≤2√−1，则在P1中，对任意的x0∈∑s，

Δ(Θx0)=x0

对于非稀疏信号，也能进行较好地恢复。

定理 假定矩阵Θ满足2s阶RIP性质，且RIP常数σ2s≤2√−1，则在P1中，对任意的x0∈ℝN，

||Δ(Θx0)−x0||2≤C0σs(x)1s√,其中，C0为常数，σs(x)X：=minz∈∑s||x−z||X，x∈ℝNσs(K)X：=minx∈kσs(x)X，K⊂ℝN

那么对于P1，为了精确恢复所有s-稀疏信号，观测次数n应该为多少？

定理 假定Θ∈ℝn∗N，且使用P1恢复。那么，如果，

Δ(Θx0)=x0，对任意x∈∑2s,

则

n≥c1slog(Nc2s),其中c1=1log9，c2=4




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