图相关知识点(上)

通过符号G=(V,E)表示，图中的顶点数|v|和边数|E|用来度量输入的规模。

使用V[G]表示一个图G的顶点集，用E[G]来表示其边集。

有两种表示方法:邻接表和邻接矩阵

无向边：边是没有方向的，写为(a,b)

有向边：边是有方向的，写为<a,b>

简单图:不存在指向自己的边，不存在两条重复边的图

无向完全图:每个顶点之间都有一条边

有向完全图:每个顶点之间都有两条互为相反的边

度:与特定顶点相连接的边数

出度:这是对于有向图而言的概念，出度表示以此为起点的边的数目，

入度:表示以此为终点的边的数目

环:第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

简单环:除去最后一个顶点和第一个顶点没有重复顶点的环

ex:



上面的图含有如下的几个环:

(2,3)、(1,2,3,6)、(6,3)

连通图：任意两个顶点都相互连通的图；

极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；

连通分量：极大连通子图的数量；

强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；

生成树：n个顶点，n-1条边，并且保证n个顶点相互连通（不存在环）；

最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；

图的存储结构:

1.邻接矩阵

维持一个二维数组，arr[i][j]表示i到j的边，如果两顶点之间存在边，则为1，否则为0；

下图为一般的有向图：



下图为带有权重的图的邻接矩阵表示法：



缺点：邻接矩阵表示法对于稀疏图来说不合理，因为太浪费空间；

2.邻接表

如果图示一般的图，则如下图：


如果边带有权值:

3.十字链表

好处：创建的时间复杂度和邻接链表相同，但是能够同时计算入度和出度；

4.邻接多重表

针对无向图； 如果我们只是单纯对节点进行操作，则邻接表是一个很好的选择，但是如果我们要在邻接表中删除一条边，则需要删除四个顶点（因为无向图）；

在邻接多重表中，只需要删除一个节点，即可完成边的删除，因此比较方便；

因此邻接多重表适用于对边进行删除的操作；

顶点节点和邻接表没区别，边表节点如下图：

比如：

5.边集数组

适合依次对边进行操作；

存储边的信息，如下图：