JZOJ 4058. 【JSOI2015】子集选取

Description

Input

Output

Sample Input

输入1：

2 2

输入2：

6 40

Sample Output

输出1：

16

输出2：

401898087

Data Constraint

Solution

设 f（n，k） 为输入为 n，k 的答案。

由于对于每一个元素，选取过程都是独立的，

即元素 i 不会影响元素 j 的选取

那么可以得到 f（n，k）=f（1，k）n 。

下面来推导 f（1，k） 。单个元素的选取的特点是：

选取 1 的位置是连续的，并会形成阶梯状。

如下图：（当 k=6的情况：深色的是被选取的部分）



设 Ai 为第 i 列最后选取的行是什么。若从第 1 列到第 m 列均存在格子被选取，

那么将满足：Ai+1≤Ai（1≤i≤m）

设 Gi,j 表示在第 i 列最后选取的是第 j 行的方案数，那么得到递推式：Gi,j=∑p=jkGi−1，p

观察可得：Gi,j=Gi−1，j+Gi，j+1

推导一下会发现这是组合数的形式！

由于元素可以一个也不选，也可以在任意位置结束，所以：f（1，k）=1+∑Gi,j=2k

综合可得：f（n，k）=2n∗k

则时间复杂度为 O（logn） ！

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
const int mo=1e9+7;
int n,k;
inline long long ksm(long long x,int y)
{
long long s=1;
while(y)
{
if(y&1) s=s*x%mo;
x=x*x%mo;
y>>=1;
}
return s;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
printf("%lld",ksm(ksm(2,k),n));
return 0;
}