FFT系列 复数

因为我发现网上关于FFT的教程都比较那啥，于是乎决定自己写一篇，也算是方便以后复习，于是便有了这个系列。

本文是关于FFT所需要用到的有关复数的知识，旨在为今后FFT的学习铺路

n次单位复数根是满足ωn=1的复数根ω。n次单位复数根恰好有n个：对于k=0,1,…,n-1，这些跟恰好就是e2πi/n。

为了证明这个东西，我们引入一下复数根的指数形式定义：eiμ=cos(μ)+isin(μ)

n个单位复数根均匀地分布在以复平面的原点为圆心的单位圆半径上，值ωn=e2πi/n

成为主n次方根，所有其他n次单位复数根都是ωn的幂次。

为了FFT的学习，我们给出以下定理、公理或引理。

因为本文旨在方便未来FFT的学习，所以就不给出证明，但证明均不麻烦，所以有兴趣的可以自行研究。

引理 1： （消去引理）对任意整数 n>=0,k>=0,以及d>0,我们有 ωdkdn=ωkn

推论 1： 对于任意的偶数 n>0，有 ωn/2n=ω2=−1

引理 2：（折半引理）如果 n>0为偶数，那么n个n次单位复数根的平方的集合就是 n/2 个 n/2 次单位复数根的集合。

引理 3： （求和引理）对任意整数 n>=1和不能被n整除的非负整数k，有∑j=0n−1(ωkn)j=0

然后，然后就没有然后了，大概FFT所需的复数相关知识就这么多了吧。