图同构（graph isomorphism）算法（1）

挖坑。

顺便吐槽，latex换行不能，图片巨大化，缺少自动保存，不小心点了个后退白写半个钟头，这是我熟悉的csdn？？

简介

对于同一个图，我们可以用各种不同的形式来描述，这些形式都具有相同数目的边，具有相同数目的顶点，它们有着一一对应的关系，对应的顶点具有相同的连接性。这些图的不同形式，我们称之为图同构。

直观来说，如果图G1,G2顶点和边数量相同，且边（具有方向性，即有向图）的连接性相同，这两个图定义为同构。可以认为，G1的点是由G2中的点映射得到。

随着上世纪八九十年代一大批（应用）数学家投入到对图论中这个问题的研究，各种研究成果也层出不穷。重要的是应用能很快投入实际。从图像处理识别到视频动态分析，从生物高分子学到文档语言处理，图论中的这个问题也成为相对热门的研究对象。

图同构问题一般可以分为四个不同的研究种类：精确图完全同构、精确子图同构、不精确图完全同构、不精确子图同构。证明已后面三者是NP-Complete问题，第一类问题还没有定论，一般认为是NP问题。这个blog的系列主要研究精确图同构问题。

以图a和图b为例：





不言而喻，从图b到图a存在着一组映射：

a1−>b3a2−>b4a3−>b1a4−>b2

因此两图是同构的。这就是exact matching。

子图同构问题，顾名思义描述的是图b能否与图有向a的某个子图同构。还是以上述两个图为例，在图a中增加一条3到2的有向边。此时图a的子图（subgraph）a’和图b同构（显然）。

算法框架

1971年的ACM杂志上，刊登了一篇被人广泛引用的论文。埃因霍温大学的C Bron，对无向图的Maximal Clique问题做了一点微小的工作，然后地位就不知道高到哪里去了。过了40年，某学者在IEEE上发图同构综述，还把这篇论文尊为鼻祖。也许有人要问了，我们前面看的不是有向图吗，为什么要放一篇八竿子打不着关系的文章上来，发ranka是不是也要凑字数凑引文啊？

说毫无关系也是不对的。看下这篇Finding All Cliques of an Undirected Graph，70年代的行文风格简单粗暴，上来也没有像今天写论文或是本文这样缠缠绵绵的引用和简介，intro只有一句话：不在任意一个完全子图里面的完全子图（又称为团，Clique），称之为Maximal Clique（最大团）。然后立刻放出求最大团的两个算法，就像啪啪两枪直刺心脏，毫无一句废话。技巧有二：第一叫做backtracing（回溯），第二叫做branch & bound（剪枝）。虽然目标不同，但这就是解决图同构问题的基本框架（之一）了。两个技巧被后世的高中生们学了去，在OI界大杀特杀，这又是后话。

第一个算法也是无比brute，维持一个搜索状态，不断将点加入到有可能的点集中，直到无法继续扩展。（2b continued…）

在搜索的基础上，我们可以写一个简单的处理同构问题的框架。以刚才的例子来说，图同构最后得到的结果是一串序列：3,4,1,2，代表b图对a图的映射关系。因此可以进行如下的搜索过程：



上图为初始状态，搜索节点为空，用{}表示，先假定a图的搜索顺序为{1,2,3,4}，最后形成的搜索结果应为{(1,bs1),(2,bs2),(3,bs3),(4,bs4)}，其中sn代表b图点搜索的顺序。



第一步，将b图中的节点1加入搜索，与a图中的节点1对应。映射关系用红色表示。状态为{(1,1)}



第二步，加入b图中的节点2。因为两个图中1到2都存在一条有向边，所以目前这个状态没有问题。状态为{(1,1),(2,2)}



第三步，加入b图中的节点3。检查边的情况，发现图b中红色的边与图a中相对应的边连通性不同，即图a应有一条边从3指向1而实际情况不同。因此搜索回溯，回到第二步中的状态{(1,1),(2,2)}，再继续往下加入节点4形成新的状态{(1,1),(2,2),(3,4)}。这里检查的准则是，只要当前搜索到的b子图中存在某条边，对应的a子图中就应该存在相对应的边，这样就能够得到b和a中的某个子图同构。

有搜索基础就知道，这其实就一个深度优先搜索（DFS）。以此类推，最后得到完全匹配的状态{(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)}

这是一个比较简单的搜索，但是效率显然低下。问题出在没有利用图a的任何一条性质，而是简单的从1,2…..一直到n搜索a，造成搜索树的大量分叉。那就改改吧！图a本身可以用dfs生成一个图的搜索前序。这样的好处是可以尽快将不可能的情况进行剪枝。直观的来说，a的子图里面边越多，限定的条件也就越多，剪枝的效率越高。所以a的搜索顺序应遵循两个原则：1、出入度多的在前面。2、按照前序。

以下，用生成的数据做了一组简略的测试。图a有15个节点，30条边，图b有15个节点，39条边，测试在图b中找到图a的同构子图。以下图没有双向边，没有点指向本身的圈。对于每个图，数据格式第一行为n m，代表图的节点数量和边数量。下面m行u v 代表从u到v存在有向边。

15 30

1 3

1 4

1 5

1 14

2 12

3 9

3 10

3 11

4 2

4 3

4 10

4 11

5 2

5 10

6 7

6 10

7 11

8 4

8 14

9 4

9 11

9 15

10 2

10 7

12 1

12 11

13 1

13 8

14 9

14 11

15 39

11 5

11 10

11 3

11 13

4 8

5 1

5 9

5 6

10 4

10 5

10 9

10 6

3 4

3 9

7 14

7 9

14 6

15 10

15 13

1 10

1 6

1 2

9 4

9 14

8 11

8 6

12 11

12 15

13 1

13 6

4 1

9 6

2 3

4 12

11 4

7 12

5 7

8 2

4 15

最后用VS2012测试得到结果如下：

算法1遍历1477个状态，算法2遍历171个状态。符合预期。

而在下面这个例子中，两个算法的效率差异是惊人的：

20 50

1 14

2 18

3 10

4 3

4 9

4 11

4 18

5 2

5 12

5 15

6 7

6 8

6 13

7 8

7 15

8 1

9 1

9 12

9 15

11 1

11 2

11 5

11 8

11 14

11 15

11 20

12 6

12 19

13 2

13 16

13 18

14 7

14 12

15 18

16 1

16 3

16 12

16 14

16 19

17 2

17 9

17 10

18 3

18 5

18 6

18 8

18 9

19 8

20 9

20 10

20 64

11 15

18 4

16 13

17 16

17 2

17 6

17 4

10 18

10 1

10 7

12 3

12 5

12 20

3 5

3 7

5 11

2 11

2 1

2 7

6 11

6 18

6 10

6 5

6 15

6 7

6 8

1 12

1 19

20 18

20 14

20 4

15 3

15 1

7 4

14 11

14 16

14 1

14 15

14 19

9 18

9 2

9 13

4 16

4 10

4 12

4 5

4 2

19 5

8 2

8 13

5 13

17 14

14 6

14 7

6 13

2 15

3 8

16 15

12 8

20 2

13 3

20 6

7 1

1 20

针对50条边的图a，算法1搜索了2834001个状态，而改良后的搜索只遍历了953个状态！在稀疏图面前，这个剪枝还是相当强的。（待续）