KL散度(Kullback-Leibler_divergence)

KL-divergence，俗称KL距离，常用来衡量两个概率分布的距离。

1. 根据shannon的信息论，给定一个字符集的概率分布，我们可以设计一种编码，使得表示该字符集组成的字符串平均需要的比特数最少。假设这个字符集是X，对x∈X，其出现概率为P(x)，那么其最优编码平均需要的比特数等于这个字符集的熵：




a.当log以2为底的时候称之为 bits,结果可以视为多少个二进制位可以表示该变量
b.当log以e为底的时侯称之为 nats

2.KL divergence (KL距离)

这个值是用来衡量两个分布之间相异度的，具体来说，假设有k个状态的两个离散分布p,q，则

          

               

a.如果是连续的随机变量，把∑用积分 符号替换就好了

          对上式进行转化：

          

  

          其中H(p,q)称为交叉熵 (cross entropy)

            

  

          交叉熵可以看作是当我们用模型q来编码来自模型p的变量时所需的平均bits(如果log以2为底的话)

          所以，有H(p)=H(p,p),所以KL距离就可以看做是：用模型q来编码来自模型p的变量所需的额外bits！

          因为是“额外的”，所以 KL的距离的值一定大于0，KL=0当且仅当p=q

3.

互信息(Mutual Information)

          我们知道如果p(x,y)=p(x)p(y)，则X和Y互相独立

          而衡量两个随机变量的相关性有 相关系数 ，而互信息就是用来衡量 p(x,y)与p(x)p(y)之间的关系的：

          


          其实就是借用了上面的KL距离，可以知道 

          


          另一个有用的定义是pointwise mutual information(PMI),是对于每个点的定义

          


          可以得知 MI值其实就是PMI值的期望
4.

④—for 连续随机变量

          上面都是 讲的离散随机变量 ，如果要变化到连续随机变量，则可以把∑用积分 符号替换就好了

          对于连续随机变量一个有用的参数是maximal information coefficient(MIC)

          


          


          是用来告诉我们两个变量的独立性的一个系数，可以表示两个变量间的独立性

          MIC值介于[0,1]，0表示两个变量互相独立，而1表示两个变量有无噪(noisy-free)的关系(不仅仅是线性关系)

一个图示说明---图片来自《Machine Learning - A Probabilistic Perspective》--

          


          左边图的 横轴是MIC，纵轴是相关系数，例如C点是相关系数接近0，MIC接近0，从右图可以看出 C的分布是没有规律的

          而H或者D图，两个变量间有很强的关系，表现为基本上的线性关系 ，其它例子自己看把