机器学习实战笔记(Python实现)-08-线性回归

---------------------------------------------------------------------------------------

本系列文章为《机器学习实战》学习笔记，内容整理自书本，网络以及自己的理解，如有错误欢迎指正。

源码在Python3.5上测试均通过，代码及数据 --> https://github.com/Wellat/MLaction

---------------------------------------------------------------------------------------

1、线性回归

现有一数据集，其分布如下图所示，



通过观察发现可以通过一个线性方程去拟合这些数据点。可设直线方程为 y=wx. 其中w称为回归系数。那么现在的问题是，如何从一堆x和对应的y中确定w？一个常用的方法就是找出使误差最小的w。这里的误差是指预测y值和真实y值之间的差值，我们采用平方误差，写作：



用矩阵还可以写作：

，如果对w求导，得到

，令其等于零，解出w为：



注意此处公式包含对矩阵求逆，所以求解时需要先对矩阵是否可逆做出判断。以上求解w的过程也称为“普通最小二乘法”。

Python实现代码如下：

from numpy import *

def loadDataSet(fileName):
'''导入数据'''
numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines():
lineArr =[]
curLine = line.strip().split('\t')
for i in range(numFeat):
lineArr.append(float(curLine[i]))
dataMat.append(lineArr)
labelMat.append(float(curLine[-1]))
return dataMat,labelMat

def standRegres(xArr,yArr):
'''求回归系数'''
xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
xTx = xMat.T*xMat
if linalg.det(xTx) == 0.0:#判断行列式是否为0
print("This matrix is singular, cannot do inverse")
return
ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)#也可以用NumPy库的函数求解：ws=linalg.solve(xTx,xMat.T*yMatT)
return ws

if __name__ == "__main__":
'''线性回归'''
xArr,yArr=loadDataSet('ex0.txt')
ws=standRegres(xArr,yArr)
xMat=mat(xArr)
yMat=mat(yArr)
#预测值
yHat=xMat*ws

#计算预测值和真实值得相关性
corrcoef(yHat.T,yMat)#0.986

#绘制数据集散点图和最佳拟合直线图
#创建图像并绘出原始的数据
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0])
#绘最佳拟合直线，需先要将点按照升序排列
xCopy=xMat.copy()
xCopy.sort(0)
yHat = xCopy*ws
ax.plot(xCopy[:,1],yHat)
plt.show()

几乎任一数据集都可以用上述方法建立模型，只是需要判断模型的好坏，计算预测值yHat和实际值yMat这两个序列的相关系数，可以查看它们的匹配程度。

2、局部加权线性回归

局部加权线性回归给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，用于解决线性回归可能出现的欠拟合现象。与ｋＮＮ法类似，这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集，然后在这个子集上基于最小均分差来进行普通的回归。该算法解出回归系数的形式如下：



其中w是一个权重矩阵，通常采用核函数来对附近的点赋予权重，最常用的核函数是高斯核，如下：



这样就构建了一个只含对角元素的权重矩阵W并且点x与x(i)越近，w(i,i)将会越大，k值控制衰减速度，且k值越小被选用于训练回归模型的数据集越小。

Python实现代码：

def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):
'''局部加权线性回归函数'''
xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
m = shape(xMat)[0]
weights = mat(eye((m)))#创建对角矩阵
for j in range(m):
diffMat = testPoint - xMat[j,:]
#高斯核计算权重
weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
xTx = xMat.T * (weights * xMat)
if linalg.det(xTx) == 0.0:
print("This matrix is singular, cannot do inverse")
return
ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
return testPoint * ws

def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):
'''为数据集中每个点调用lwlr()'''
m = shape(testArr)[0]
yHat = zeros(m)
for i in range(m):
yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
return yHat

if __name__ == "__main__":
'''局部加权线性回归'''
xArr,yArr=loadDataSet('ex0.txt')
#拟合
yHat=lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.01)
#绘图
xMat=mat(xArr)
yMat=mat(yArr)
srtInd = xMat[:,1].argsort(0)
xSort=xMat[srtInd][:,0,:]
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.plot(xSort[:,1],yHat[srtInd])
ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0],s=2,c='red')
plt.show()

k取0.01的结果



实际上，对k取不同值时有如下结果：

3、岭回归

如果数据的特征比样本点多（n>m），也就是说输入数据的矩阵x不是满秩矩阵。而非满秩矩阵在求逆时会出错，所以此时不能使用之前的线性回归方法。为解决这个问题，统计学家引入了岭回归的概念。

简单来说，岭回归就是在矩阵xTx上加一个λI从而使得矩阵非奇异，进而能对 xTx+λI 求逆，其中I是一个mxm的单位矩阵。在这种情况下，回归系数的计算公式将变成：



这里通过引入λ来限制了所有w之和，通过引入该惩罚项，能减少不重要的参数，这个技术在统计学中也叫缩减。

Python实现代码：

def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):
'''计算岭回归系数'''
xTx = xMat.T*xMat
denom = xTx + eye(shape(xMat)[1])*lam
if linalg.det(denom) == 0.0:
print("This matrix is singular, cannot do inverse")
return
ws = denom.I * (xMat.T*yMat)
return ws

def ridgeTest(xArr,yArr):
'''用于在一组lambda上测试结果'''
xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
yMean = mean(yMat,0)
yMat = yMat - yMean     #数据标准化
xMeans = mean(xMat,0)
xVar = var(xMat,0)
xMat = (xMat - xMeans)/xVar #所有特征减去各自的均值并除以方差
numTestPts = 30 #取30个不同的lambda调用函数
wMat = zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))
for i in range(numTestPts):
ws = ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))
wMat[i,:]=ws.T
return wMat

if __name__ == "__main__":
'''岭回归'''
abX,abY=loadDataSet('abalone.txt')
ridgeWeights = ridgeTest(abX,abY)#得到30组回归系数
#缩减效果图
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.plot(ridgeWeights)
plt.show()

运行之后得到下图，横轴表示第i组数据，纵轴表示该组数据对应的回归系数值。从程序中可以看出lambda的取值为 exp(i-10) 其中i=0~29。所以结果图的最左边，即λ最小时，可以得到所有系数的原始值（与线性回归一致）；而在右边，系数全部缩减为0；在中间部分的某些值可以取得最好的预测效果。

4、前向逐步回归

前向逐步回归算法属于一种贪心算法，即每一步尽可能减少误差。一开始，所有的权重都设为1，然后每一步所做的决策是对某个权重增加或减少一个很小的值。

该算法伪代码如下所示：



Python实现代码：

def regularize(xMat):
'''数据标准化函数'''
inMat = xMat.copy()
inMeans = mean(inMat,0)
inVar = var(inMat,0)
inMat = (inMat - inMeans)/inVar
return inMat

def rssError(yArr,yHatArr):
'''计算均方误差大小'''
return ((yArr-yHatArr)**2).sum()

def stageWise(xArr,yArr,eps=0.01,numIt=100):
'''
逐步线性回归算法
eps：表示每次迭代需要调整的步长
'''
xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
yMean = mean(yMat,0)
yMat = yMat - yMean
xMat = regularize(xMat)
m,n=shape(xMat)
returnMat = zeros((numIt,n)) #testing code remove
#为了实现贪心算法建立ws的两份副本
ws = zeros((n,1)); wsTest = ws.copy(); wsMax = ws.copy()
for i in range(numIt):
print(ws.T)
lowestError = inf;
for j in range(n):#对每个特征
for sign in [-1,1]:#分别计算增加或减少该特征对误差的影响
wsTest = ws.copy()
wsTest[j] += eps*sign
yTest = xMat*wsTest
rssE = rssError(yMat.A,yTest.A)
#取最小误差
if rssE < lowestError:
lowestError = rssE
wsMax = wsTest
ws = wsMax.copy()
returnMat[i,:]=ws.T
return returnMat

if __name__ == "__main__":
'''前向逐步线性回归'''
abX,abY=loadDataSet('abalone.txt')
stageWise(abX,abY,0.01,200)

运行结果如下：



上述结果中值得注意的是w1和w6都是0，这表明它们不对目标值造成任何影响，也就是说这些特征很可能是不需要的。另外，第一个权重在0.04和0.05之间来回震荡，这是因为步长eps太大的缘故，一段时间后系数就已经饱和并在特定值之间来回震荡。

5、实例：预测乐高玩具套装的价格

5.1 收集数据

原书介绍了从Google上在线获取数据的方式，但是经测试该网址已经不可用，此处采用从离线网页中爬取的方式收集数据。实现代码如下：

def setDataCollect(retX, retY):
'''数据获取方式一（不可用）'''
#    searchForSet(retX, retY, 8288, 2006, 800, 49.99)
#    searchForSet(retX, retY, 10030, 2002, 3096, 269.99)
#    searchForSet(retX, retY, 10179, 2007, 5195, 499.99)
#    searchForSet(retX, retY, 10181, 2007, 3428, 199.99)
#    searchForSet(retX, retY, 10189, 2008, 5922, 299.99)
#    searchForSet(retX, retY, 10196, 2009, 3263, 249.99)
'''数据获取方式二'''
scrapePage("setHtml/lego8288.html","data/lego8288.txt",2006, 800, 49.99)
scrapePage("setHtml/lego10030.html","data/lego10030.txt", 2002, 3096, 269.99)
scrapePage("setHtml/lego10179.html","data/lego10179.txt", 2007, 5195, 499.99)
scrapePage("setHtml/lego10181.html","data/lego10181.txt", 2007, 3428, 199.99)
scrapePage("setHtml/lego10189.html","data/lego10189.txt", 2008, 5922, 299.99)
scrapePage("setHtml/lego10196.html","data/lego10196.txt", 2009, 3263, 249.99)

def scrapePage(inFile,outFile,yr,numPce,origPrc):
from bs4 import BeautifulSoup
fr = open(inFile,'r',encoding= 'utf8'); fw=open(outFile,'a') #a is append mode writing
soup = BeautifulSoup(fr.read())
i=1
currentRow = soup.findAll('table', r="%d" % i)
while(len(currentRow)!=0):
title = currentRow[0].findAll('a')[1].text
lwrTitle = title.lower()
if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):
newFlag = 1.0
else:
newFlag = 0.0
soldUnicde = currentRow[0].findAll('td')[3].findAll('span')
if len(soldUnicde)==0:
print("item #%d did not sell" % i)
else:
soldPrice = currentRow[0].findAll('td')[4]
priceStr = soldPrice.text
priceStr = priceStr.replace('$','') #strips out $
priceStr = priceStr.replace(',','') #strips out ,
if len(soldPrice)>1:
priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '') #strips out Free Shipping
print("%s\t%d\t%s" % (priceStr,newFlag,title))
fw.write("%d\t%d\t%d\t%f\t%s\n" % (yr,numPce,newFlag,origPrc,priceStr))
i += 1
currentRow = soup.findAll('table', r="%d" % i)
fw.close()

if __name__ == "__main__":
'''乐高玩具价格预测'''
48　　　#爬取数据
49　　　setDataCollect()
50     #读取数据，这里已将以上方式获取到的数据文本整合成为一个文件即legoAllData.txt
51     xmat,ymat = loadDataSet("data/legoAllData.txt")

5.2 训练算法

首先我们用普通的线性回归模型拟合数据看效果，拟合之前需要先添加对应常数项的特征X0

if __name__ == "__main__":
'''乐高玩具价格预测'''
#爬取数据
#    setDataCollect()
#读取数据，这里已将以上方式获取到的数据文本整合成为一个文件即legoAllData.txt
#    xMat,yMat = loadDataSet("data/legoAllData.txt")
#添加对应常数项的特征X0(X0=1)
lgX=mat(ones((76,5)))
lgX[:,1:5]=mat(xmat)
lgY=mat(ymat).T

#用标准回归方程拟合
ws1=standRegres(lgX,mat(ymat)) #求标准回归系数
yHat = lgX*ws1 #预测值
err1 = rssError(lgY.A,yHat.A)   #计算平方误差
cor1 = corrcoef(yHat.T,lgY.T) #计算预测值和真实值得相关性

测试结果为相关性cor1：0.7922，平方误差和err1：3552526，显然拟合效果还可以进一步提升。

接下来我们用交叉验证测试岭回归：

def crossValidation(xArr,yArr,numVal=10):
'''
交叉验证测试岭回归
numVal:交叉验证次数
'''
m = len(yArr)
indexList = list(range(m))
errorMat = zeros((numVal,30))
for i in range(numVal):
trainX=[]; trainY=[]
testX = []; testY = []
random.shuffle(indexList)#打乱顺序
for j in range(m):#构建训练和测试数据，10%用于测试
if j < m*0.9:
trainX.append(xArr[indexList[j]])
trainY.append(yArr[indexList[j]])
else:
testX.append(xArr[indexList[j]])
testY.append(yArr[indexList[j]])
wMat = ridgeTest(trainX,trainY)    #30组不同参数下的回归系数集
for k in range(30):#遍历30个回归系数集
matTestX = mat(testX); matTrainX=mat(trainX)
meanTrain = mean(matTrainX,0)
varTrain = var(matTrainX,0)
matTestX = (matTestX-meanTrain)/varTrain #用训练参数标准化测试数据
yEst = matTestX * mat(wMat[k,:]).T + mean(trainY)#预测值
errorMat[i,k]=rssError(yEst.T.A,array(testY))#计算预测平方误差
#            print(errorMat[i,k])
#在完成所有交叉验证后，errorMat保存了ridgeTest()每个lambda对应的多个误差值
meanErrors = mean(errorMat,0)#计算每组平均误差
minMean = float(min(meanErrors))
bestWeights = wMat[nonzero(meanErrors==minMean)]#平均误差最小的组的回归系数即为所求最佳
#岭回归使用了数据标准化，而strandRegres()则没有，因此为了将上述比较可视化还需将数据还原
xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
meanX = mean(xMat,0); varX = var(xMat,0)
unReg = bestWeights/varX  #还原后的回归系数
constant = -1*sum(multiply(meanX,unReg)) + mean(yMat) #常数项
print("the best model from Ridge Regression is:\n",unReg)
print("with constant term: ",constant)
return unReg,constant

if __name__ == "__main__":
'''乐高玩具价格预测'''
#用交叉验证测试岭回归
ws2,constant = crossValidation(xmat,ymat,10)
yHat2 = mat(xmat)*ws2.T + constant
err2 = rssError(lgY.A,yHat2.A)
cor2 = corrcoef(yHat2.T,lgY.T)

测试结果为相关性cor2：0.7874，平方误差和err2：3827083，与最小二乘法比较好并没有太大差异。其实这种分析方法使得我们可以挖掘大量数据的内在规律。在仅有4个特征时，该方法的效果也许并不明显；但如果有100个以上的特征，该方法就会变得十分有效：它可以指出哪些特征是关键的，而哪些特征是不重要的。

THE END．