《计算机算法与数学模型<上>》期末考试试题

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北京邮电大学2016—2017学年第一学期
《计算机算法与数学模型<上>》期末考试试题
说明：1）本次考试采用开卷方式，答卷时间为一周（2016年12月29日-2017年元月05日），请按时（2017年01月05日数学模型课课间）交卷，逾时不候；2）本课程的考试是一学期课程学习结束的一次综合复习，因此在答题时务必独立完成，除了查阅有关资料外，请避免同学间相互抄袭，如发现雷同答卷，一并作废！3）答题纸务必采用学校提供的标准答题纸，否则将被视为无效。请在答卷卷首写清姓名、班级、学号（学校统一10位编号）等。4）凡涉及计算编程的题目，将程序打包、压缩、以
“数学模型”+“本人学号”+“姓名”命名后发到ftp://10.105.66.241(用户名：homework,密码：homework)5) 若由于印刷原因造成试题不清晰，请从http://10.105.66.241/sxjm 下载试题的电子文档。

 

一、 综合建模——公交一卡通的充值:

我们生活中有很多类似公交一卡通充值、手机卡充值等预付费服务消费方式，这里就以公交一卡通充值为例进行建模分析，为消费者建立一个一次充值的最佳金额确定策略。

一次充值金额不宜太多：比方银行利息损失、卡的丢失等因素的影响；一次充值金额不宜太少：比方可能造成频繁的充值排队时间花销，如果充值服务网点有限，消费者有时只是为了消费卡充值而支付往返居住地到服务网点之间交通费用的开销。

当然，你可能还注意到更多需要考虑的影响因素，在建模时，尽量做到周全和实用。

 

 

二、模型解释

1．在允许缺货的存贮策略分析中，按“成本最小化”建模，从得到的结果中发现在一个存贮周期中确有一段时期为“零贮存”，且又不积极再进货。试分析该模型的缺陷以及改进的方向。

 

2．以已知某双种群生态系统的数学模型 ，其中以表示两个不同种群在时刻的数量，为模型参数。请问该模型表示哪类生态（共存、竞争、捕食）系统模型，并说明平衡点的稳定性条件。

 

3．关于“席位的公平分配问题”，一些教程在值法的导出时，均以如下算例为论据，说明绝对不公平性指标在评价一个分配方案其公平性程度是不适当的，进而给出相对不公平性指标，最终导出值法。我认为这个例子是不适当的，你能给出一些有说服力的论述吗？

例、设甲、乙二团体的人数分别为、两种情形，在这两种情形下他们分得的席位均为。容易发现，当甲、乙二团体的人数分别为时，席位分配方案的不公平程度更大，而绝对不公平得到的数字、却是相等的。

 

4. 以下是我在某教程上截取下有关节水洗衣问题的建模分析的判断，假定其它模型参数一定时，考虑呆洗衣服（质）量不同取值在，最优洗衣策略对应的洗涤轮数和用水量。请用归纳的观点，解释你从实验数据中得出的一些结论：

 

衣物质量 （千克）	轮数（次）	每轮用水量（升）	总用水量（升）	单位质量衣物平均总用水量（升）
1	3	20	60	60
2	3	21	63	31.5
3	3	26	78	26
4	4	20	80	20
5	4	21	84	16.8

 

5．考虑实物交换问题，我们假定讨论甲、乙双方，限于A、B两种物品；以、分别表示甲方、乙方拥有A、B两种物品的量，以、分别表示甲方、乙方相应的满意程度，称之为满意度函数。 进而建立如下模型：

尝试解释包括模型参数在内，目标约束、各组约束条件的具体意义；论述该模型的合理性以及可能的不同目标函数选择。

 

 

三、计算与论证

1．人合作对策问题

记，为的幂集合，为到实数集的一个函数，是人合作对策问题的某个特征函数，若以表示人合作对策问题关于特征函数的算法，以下是著名的值方法：

这里，表示集合中元素数目：
1）试用排列组合的观点解释的意义；
2）显然对，均有。请您论证；
3）试着解释值方法的合理性及其局限性（不足）。
 
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2．核武器竞赛（http://10.105.66.241/sxjm/lec/Course06/course06_1.htm）

如参考课件，在适当的模型假设下，若要采用期望值准则分析建模，即每一方均希望在遭到对方倾斜性核打击后，保留下核弹数目的数学期望值不少于某个设定值，则得定解条件(参数、变量的符号均保持课件原样)：

、
得到甲、乙双方的安全曲线分别为：、。

联系实际，我们觉得对模型假设所表述的国家安全概念的适宜解读，应当是，“每一方均希望在遭到对方倾斜性核打击后，保留下核弹数目不少于某个设定值的概率不少于某个概率设定值，比方0.9”。进而，相应的定解条件变为：

、
这里，将、解读为自然数。
请尝试推论甲乙双方的无差别曲线以及双方安全区域的存在性（当然，你也可以采用类似计算机模拟等数值的、近似的一些手法对模型展开讨论）。

 

3． 在 97年前后，我国的一些大中城市出现了产品的分销热。安利公司是美国一家主要生产清洁产品的大公司，在许多国家开设分公司，据说“分销”是安利产品的主要销售方式，产品的“分销员”从公司代理处提取产品并直接送到顾客手中，公司从产品的销售收入中让利作为“分销员”的报酬。显然一个大而好的“分销网络”对公司是重要的，公司鼓励“分销员”一方面挖掘产品的潜在消费群，一方面不断地壮大“分销网络”本身—即不断地吸引新的成员加入并给予指导，而公司同样依据由“你”发展起来“分销网络”的销售业绩给予适当的报酬。

假设你与你相关的一个人群合作从事某项经营活动，整体效益表现为中每一成员的成绩之和，而的所有工作是帮助中每个成员取得尽可能大的成绩， 即的成绩需要根据做出综合评定，不妨将之设计为的一个函数：

定性分析应满足：1）非负性：；2）单调性：；

3） 对称性：对任意、，若经有限次对换可将化为，即存在  上的一全排列满足：， 则有；4）无考性：若中有个分量为，则.

为简化起见，只须设计两个一元函数、即可，要求a）非负性：；b）单调性：、；c）无考性：.

令，试着证明：由满足条件a，b，c的、定义的满足条件1）~4）；

若将、表示收入，试解释的经济意义，并阐明构造的合理性.