BZOJ 2186 [Sdoi2008] 沙拉公主的困惑 逆元/欧拉定理
2017-01-01 11:13
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题目大意:有T次询问,给定一个质数R作为模数。每组询问给定n和m,求1至N!中与M!互质的数的数量对R取模后的值。
数据范围T<=10000
求[1,N!]中有多少数与M!互质…好像不会
但是我们可以求[1,M!]中有多少数与M!互质。
我们有欧拉函数 φ(M!)=M!(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)⋯(1−1pn)
φ(M!)即[1,M!]中与M!互质的数的个数,pi即M!的质因数,每种质因数只有一个。
现在想办法怎么把区间扩大到[1,N!]。
不难发现,若一个数x与y互质,那么x+ky也一定与y互质1。
N>M,所以N!一定是M!的倍数,把y换成M!,把[1,M!]内的数都加上kM!,就得到了[kM!+1,(k+1)M!]的答案,最后的答案 ans=(φ(M!)×N!M!)%R
把欧拉函数展开得到
所以O(n)预处理出(伪)欧拉函数,阶乘,O(1)回答询问
数据范围T<=10000
求[1,N!]中有多少数与M!互质…好像不会
但是我们可以求[1,M!]中有多少数与M!互质。
我们有欧拉函数 φ(M!)=M!(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)⋯(1−1pn)
φ(M!)即[1,M!]中与M!互质的数的个数,pi即M!的质因数,每种质因数只有一个。
现在想办法怎么把区间扩大到[1,N!]。
不难发现,若一个数x与y互质,那么x+ky也一定与y互质1。
N>M,所以N!一定是M!的倍数,把y换成M!,把[1,M!]内的数都加上kM!,就得到了[kM!+1,(k+1)M!]的答案,最后的答案 ans=(φ(M!)×N!M!)%R
把欧拉函数展开得到
所以O(n)预处理出(伪)欧拉函数,阶乘,O(1)回答询问
#include <cstdio> #include <cmath> #define N 10000005 using namespace std; typedef long long LL; LL phi ,fac ,inv ; bool prime ; int main(){ int T,MOD; scanf("%d%d",&T,&MOD); //initialize fac[1]=inv[1]=phi[1]=1; int lim=sqrt(N+0.5); for(int i=2;i<=lim;i++) if(!prime[i]) for(int j=i*i;j<=N;j+=i) prime[j]=true; for(int i=2;i<=N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD; for(int i=2;i<=N;i++) inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD; for(int i=2;i<=N;i++)//计算i!对于MOD取模的除以i!以后的欧拉函数值 if(!prime[i]) phi[i]=phi[i-1]*(i-1)%MOD*inv[i%MOD]%MOD; else phi[i]=phi[i-1]; //query while(T--){ int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); printf("%lld\n",fac *phi[m]%MOD); } return 0; }x与y互质,说明x不是y的倍数,x+y当然也不是y的倍数,所以x+y也与y互质(这不是废话吗) ↩
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