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算法时间复杂度的计算

2016-12-28 10:25 183 查看
在这篇文章中，我们用简单的循环程序进行分析讨论时间复杂度。

1) O(1)

一个函数调用或是一组语句都认为是O(1)的复杂度(如果没有调用不包含循环，递归或其他非常量复杂度的函数)。

1
//
set of non-recursive and non-loop statements
例如函数 swap()是 O(1)的时间复杂度. 如果循环的次数是一个常量，则也认为是 O(1)

1
//这里C为常数
2
for
 
(
int
 
i
= 1; i <= n; i += c) {
3
 
//一些
O(1) 的语句
4
}
5
for
 
(
int
 
i
= n; i > 0; i -= c) {
6
 
//一些
O(1) 的语句
7
}
2) O(n)

如果在一个大小为n循环中，循环变量按照一个常量C递增或递减，这个循环的复杂度就为O(n).

1
//
c是常量
2
for
 
(
int
 
i
= 1; i <= n; i += c) {
3
 
//
some O(1) expressions
4
}
5
6
for
 
(
int
 
i
= n; i > 0; i -= c) {
7
 
//
some O(1) expressions
8
}
3) O(nc)

嵌套循环的时间复杂度等于行最内层语句执行的次数。例如，下面的示例循环具有为O（n 2）的时间复杂度

01
for
 
(
int
 
i
= 1; i <=n; i += c) {
02
for
 
(
int
 
j
= 1; j <=n; j += c) {
03
//
some O(1) expressions
04
}
05
}
06
07
for
 
(
int
 
i
= n; i > 0; i += c) {
08
for
 
(
int
 
j
= i+1; j <=n; j += c) {
09
//
some O(1) expressions
10
}
例如选择排序和插入排序具有为O（n 2）的时间复杂度。

4) O(Log n)

如果在一个大小为n循环中，循环变量按照一个常量C的进行倍数的递增或递减，这个循环的复杂度就为O(Logn).

1
for
 
(
int
 
i
= 1; i <=n; i *= c) {
2
//
some O(1) expressions
3
}
4
for
 
(
int
 
i
= n; i > 0; i /= c) {
5
//
some O(1) expressions
6
}
5) O(Log Log n)

如果在一个大小为n循环中，循环变量是指数级的递增或递减，这个循环的复杂度就为O(Log log n).

1
//
c为比1大的常量
2
for
 
(
int
 
i
= 2; i <=n; i =
pow
(i,
c)) {
3
//
some O(1) expressions
4
}
5
//这里的
fun 函数可以是sqrt 或 cuberoot 或任何其他恒定的根
6
for
 
(
int
 
i
= n; i > 0; i = fun(i)) {
7
//
some O(1) expressions
8
}
如何计算连续循环的复杂性？

当有连续的循环，我们计算时间复杂度为时间各个循环的复杂总和。

1
for
 
(
int
 
i
= 1; i <=m; i += c) {
2
//
some O(1) expressions
3
}
4
for
 
(
int
 
i
= 1; i <=n; i += c) {
5
//
some O(1) expressions
6
}
7
上面的时间复杂度
O(m) + O(n) = O(m+n)
8
如果
m == n 就是 O(2n)，也可缩写为 O(n) 常量可以忽略不计
如果循环中有许多if …else [b]如何计算时间复杂度?[/b]

一般情况我们只考虑最快情况下的复杂度。例如考虑线性搜索函数，我们只考虑元素出现在最后或没有该元素。

如何计算时间的递归函数的复杂性？

递归函数一般可以写成一个数学递推关系。为了计算时间复杂度，我们必须知道如何解决递归公式，这个问题将在后面讨论。

参考：http://www.geeksforgeeks.org/analysis-of-algorithms-set-4-analysis-of-loops/
                                            

                                        

                        
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