快速幂

说明

幂的运算是我们应该掌握的一项技能，下面就来学习一下吧！

这里的程序中，x代表底数，y代表指数，ans代表答案；

y&1 意思是“y与1”，若为真则代表y是奇数，否则它是偶数；

y>>1 意思是“y右移一位”，相当于 y/2，同样，y>>=2 等价于 y/=2；

其实可以不用位运算，但“快速幂”讲求“快速”，位运算多少可以做出点贡献。

实现

最简单的模拟（慢速）

首先是最简单的模拟：

long long ha(int x,int y){
long long ans=1;
for (int i=1; i<=y; i++) ans*=x;
return ans;
}

递归与非递归实现（快速）

显然，这一个并不够“快速”，所以，我们需要一个更快的“快速幂”。

有两个版本，一个是递归的，另一个是非递归的：

非递归实现

long long ha(int x,int y){
long long ans=1,z=x;
while (y){
if (y&1) ans=ans*z;
z=z*z;
y>>=1;
}
return ans;
}

你也可以写成这样

long long he(int x,int y){
long long ans=1,k=x;
for (; y; y>>=1,k*=k) if (y&1) ans=ans*k;
return ans;
}

递归实现

long long ha(int x,int y){
if (y==1) return x;
long long ans=ha(x,y>>1);
if (y&1) return ans*ans*x;
return ans*ans;
}

原理

其实这两个版本的“快速幂”本质基本是一样的：

把答案看成多个底数的 i 次幂相乘（其中 i 为二的次幂），这样”底数的 i 次幂”可以依次让 i 乘进ans，边处理答案边更新，这样总体速度变为log(2,y)，“快速”了不少。

下面是具体的方法：

再分别对递归和非递归这两个方法的不同之处说明一下：

非递归方式：

先把 y 看成二进制，从低位开始，每升一位就对 z 做平方运算，即处理出x2i；对于每一位 i，若 y 这一位为 1 ，则代表着答案包含一个x2i，把它乘入答案里。

注意：为了方便，实际实现中，是运用把 y 右移（整除2）来替代枚举 i。

递归方式

相当于把 y 看成 2∗z+k，其中k是 0 或 1，指示着 y 的奇偶性，那么 xy=xz∗xz∗k∗x，即ha(x,y>>1)*ha(x,y>>1)+(y&1)*x。

只用给出y=1的答案，就可以算出所需的答案了。

例子

还是给个例子直观一些，这里就模拟一次非递归的：

就比如说对于311。为方便，这里放出11的二进制表达：1011

311=320+21+23

那么就会这样：

循环层数 i	z( 32i−1 )	y	y的最低位	ans
1	3	1011	1	3
2	9	101	1	27
3	81	10	0	27
4	6561	1	1	177147

那么 311 就等于177147了。