图的应用

图的应用
一、实验目的

1、使学生可以巩固所学的有关图的基本知识。

2、熟练掌握图的存储结构。

3、掌握如何应用图解决各种实际问题。

二、实验内容

本次实验提供若干个题目，难易程度不等，学生可以根据自己的情况选做至少一题。

题目一：最小生成树问题

[问题描述]

若要在n个城市之间建设通信网络，只需要假设n-1条线路即可。如何以最低的经济代价建设这个通信网，是一个网的最小生成树问题。

[基本要求]

1．利用克鲁斯卡尔算法求网的最小生成树。

2．要求输出各条边及它们的权值。

［实现提示］

通信线路一旦建成，必然是双向的。因此，构造最小生成树的网一定是无向网。设图的顶点数不超过30个，并为简单起见，网中边的权值设成小于100的整数。

图的存储结构的选取应和所作操作相适应。为了便于选择权值最小的边，此题的存储结构既不选用邻接矩阵的数组表示法，也不选用邻接表，而是以存储边（带权）的数组表示图。

 ［测试数据］

由学生依据软件工程的测试技术自己确定。

1、总体设计（设计思想）：

克鲁斯卡尔算法的核心在于每次寻找最短的边加入图中，并且不能形成环路。还需要结合并查集解决环路问题。

2、详细设计及重要代码：

用结构体数组保存每一条边的信息（起点、终点、权值），然后从小到大排序，输出的时候判断是否能构成环路，需要用到并查集的思想。

3、效果展示及截图：



4、程序清单：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<iomanip>
#include<map>
using namespace std;

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX  20
#define INF 1<<30

struct Edge
{
int id;
int begin;
int end;
int weight;
}edge[30];   //对边集数组Edge结构的定义
int parent[30];

bool cmp(Edge a,Edge b)
{
if(a.weight!=b.weight)
return a.weight<b.weight;
return a.id<b.id;
}

int find(int x)
{
if(parent[x]!=x)
return parent[x]=find(parent[x]);
return x;
}
void uni(int x,int y)
{
parent[find(x)]=find(y);
}

int main()
{
int n,m,k,g;
cout<<"=====以存储边（带权）的数组表示图====="<<endl;
cout<<"请输入顶点数："<<endl;
cin>>m;
cout<<"请输入边的条数："<<endl;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cout<<"请输入第"<<i+1<<"条边所连接的两个顶点和权值（顶点编号0到n-1）："<<endl;
cin>>edge[i].begin>>edge[i].end>>edge[i].weight;
edge[i].id=i;
}
sort(edge,edge+n,cmp);
for(int i=0;i<n;i++)
parent[i]=i;
cout<<"最小生成树为："<<endl;
for(int i=0;i<n;i++)
{
k=find(edge[i].begin);
g=find(edge[i].end);
if(k!=g)
{
parent[find(k)]=find(g);
cout<<"("<<k<<","<<g<<")"<<edge[i].weight<<endl;
}
}
cout<<endl<<endl;
return 0;
}
/*
11 7
0 1 7
0 3 5
1 2 8
1 3 9
1 4 7
2 4 5
3 4 15
3 5 6
4 5 8
4 6 9
5 6 11
*/

题目二：拓扑排序的应用

    试编程，为某校软件专业的四年全部课程做一个排课方案。

［测试数据］

自行设计

1、总体设计（设计思想）：

邻接矩阵记录拓扑图的信息，数组记录每个点的入度，每次去找入度为一的顶点，并输出，即拓扑排序。

2、详细设计：

邻接矩阵记录拓扑图的信息，数组记录每个点的入度，每次去找入度为1的顶点，并输出，然后把这个点的入度减一即可。

3、功能展示及截图：



4、程序清单：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#define MAX 100
using namespace std;
char name[MAX];

void toposort(int map[MAX][MAX],int indegree[MAX],int n)
{
int i,j,k;
for(i=0;i<n;i++) //遍历n次
{
for(j=0;j<n;j++) //找出入度为0的节点
{
if(indegree[j]==0)
{
indegree[j]--;
cout<<"课程序号是："<<j<<"    课程名称是："<<name[j]<<endl;
for(k=0;k<n;k++) //删除与该节点关联的边
{
if(map[j][k]==1)
{
indegree[k]--;
}
}
break;
}
}
}
}

int main()
{
int n,m,i,x,y; //n:关联的边数，m:节点数
int map[MAX][MAX]; //邻接矩阵
int indegree[MAX]; //入度
cout<<endl<<"=======根据拓扑图做一个排课方案======="<<endl<<endl;
while(1)
{
cout<<"请输入拓扑关系图的边数和顶点数（以 0 0 结束）："<<endl;
scanf("%d %d",&n,&m);
if(m==0&&n==0)break;
memset(map,0,sizeof(map));
memset(indegree,0,sizeof(indegree));
for(int i=0;i<m;i++)
{
cout<<"请输入课程名字(char型字符)："<<endl;
cin>>name[i];
}
cout<<endl<<"构建拓扑图，依据输入课程时的序号"<<endl<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
{
cout<<"请输入第"<<i+1<<"条边的起点和终点："<<endl;
scanf("%d %d",&x,&y);
if(!map[x][y])
{
map[x][y]=1;
indegree[y]++;
}
}

cout<<endl<<"排课顺序可以是："<<endl;
toposort(map,indegree,m);
cout<<endl<<endl;
}
return 0;
}

/*
6 6
a
b
c
d
e
f
5 2
5 0
4 0
4 1
2 3
1 3
*/

题目三：最短路径问题

[问题描述]

　　给定一个无向网，可以求得任意一对顶点之间的最短路径。

[基本要求]

 以邻接矩阵为存储结构，实现弗洛伊德算法求解每一对顶点之间的最短路径及最短路径长度。

[测试数据]

由学生依据软件工程的测试技术自己确定。

1、总体设计（设计思想）：

题目意思很简单，即求最短路径，利用弗洛伊德算法求解每一对顶点之间的最短路径及最短路径长度。

2、详细设计及重要代码：

讲每一对顶点之间的权值保存在邻接矩阵中，利用弗洛伊德算法求解每一对顶点之间的最短路径及最短路径长度，并另外定义一个数组来保存路径。

3、功能展示及截图：



4、程序清单：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<iomanip>
#include<map>
using namespace std;
#define MAX 9999999
#define N 1005
int mp

,path

;
int main()
{
int n,a,b;
cout<<endl<<"====以邻接矩阵为存储结构实现弗洛伊德算法===="<<endl<<endl;
while(1)
{
cout<<"请输入顶点个数（0结束）："<<endl;
cin>>n;
if(n==0)break;
cout<<"请输入连接矩阵（n*n,不连通输入-1）:"<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
cin>>mp[i][j];
if(mp[i][j]==-1)
mp[i][j]=MAX;    //如果两个点不连同，则把其赋为最大值
path[i][j]=j;
}
}
for(int k=1;k<=n;k++)     //flod算法核心代码
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j])
{
mp[i][j]=mp[i][k]+mp[k][j];
path[i][j]=path[i][k];

}
}
while(1)
{
cout<<"请输入起点和终点（输入-1 -1时结束）："<<endl;
cin>>a>>b;
if(a==-1&&b==-1)break;
printf("从 %d 到 %d :\n",a,b);
int x=a;
printf("路径: %d",a);
while(x!=b)
{
cout<<"-->"<<path[x][b];
x=path[x][b];
}
cout<<endl;
cout<<"一共花费： "<<mp[a][b]<<endl<<endl;;
}
}
return 0;
}

/*
5
0 3 22 -1 4
3 0 5 -1 -1
22 5 0 9 20
-1 -1 9 0 4
4 -1 20 4 0
1 3
3 5
2 4
-1 -1
0
*/