最优服务次序问题 和 汽车加油问题

最优服务次序问题

问题描述： 设有n个顾客同时等待一项服务。顾客i需要的服务时间为ti, 1≦i ≦n 。共有s处可以提供此服务。应如何安排n个顾客的服务次序才能使平均等待时间达到最小平均等待时间是n个顾客等待服务时间的总和除以n。

算法设计：对于给定的n个顾客需要的服务时间，计算最优服务次序。

数据输入：由文件input.txt给出输入数据。第一行是正整数n，表示有n个顾客。接下来的1行中，有n个正整数，表示n个顾客需要的服务时间。

结果输出：将计算的最小平均等待时间输出到文件output.txt中。

输入文件示例                           输出文件示例

input.txt                             output.txt
10                                                                  56 12 1 99 1000 234 33 55 99 812          532.00

问题分析：假设原问题为T（先假设只有一个服务点），我们已知某个最优服务系列，即最优解为 A={t(1)，t(2)，…．t(n)} (其中t(i)为第i个用户需要的服务时间)，则每个用户等待时间为： T(1)=t(1)；T(2)=t(1)+t(2)；…T(n)=t(1)+t(2)+t(3)+…+t(n)；则总等待时问，即最优值为：

TA=T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n)=n*t(1)+(n-1)*t(2)+…+(n+1-j)*t(i)+…+2*t(n-1)+t(n)；由于平均等待时间是n个顾客等待时间的总和除以n，故本题实际上就是求使顾客等待时间的总和最小的服务次序。

贪心策略： 最短服务时间优先，先将服务时间排序，然后注意后面的等待服务时间既包括等待部分，也包括服务部分。对服务时间最短的顾客先服务的贪心选择策略，首先对需要服务时间最短的顾客进行服务，即做完第一次选择后，原问题T变成了需对n-1个顾客服务的新问 题T’。新问题和原问题相同，只是问题规模由n减小为n-1。基于此种选择策略，对新问题T’，选择n-1顾客中选择服务时间最短的先进行服务，如此进行 下去，直至所有服务都完成为止 。

算法实现： 采用最短服务时间优先的贪心策略。首先将每个顾客所需要的服务时间从小到大排序。然后申请2个数组： st[]是服务数组，st[j]为第j个队列上的某一个顾客的等待时间；su[]是求和数组，su[j]的值为第j个队列上所有顾客的等待时间。

算法复杂性分析 : 程序主要是花费在对各顾客所需服务时间的排序和贪心算法，即计算平均服务时间上面。其中，贪心算法部分只有一重循环影响时间复杂度，其时间复杂度为O(n)：而排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。因此，综合来看算法的时间复杂度为O(nlogn)。

代码实现：

#include<iostream>
#include <vector>
#include<algorithm>

using namespace std;
using std::vector;

double greedy(vector<int>x,int s){
vector<int>st(s+1,0);
vector<int>su(s+1,0);
int n=x.size();
sort(x.begin(),x.end());
int i=0,j=0;
while(i<n){
st[j]+=x[i];
su[j]+=st[j];
i++;
j++;
if(j==s)j=0;
}
double t=0;
for(i=0;i<s;i++)
t+=su[i];
t/=n;
return t;
}
int  main(){
int n;//等待服务的顾客人数
int s;//服务点的个数
int i;
int a;
int t;//平均服务时间
vector<int>x;
cout<<"请输入顾客的人数: "<<endl;
cin>>n;
cout<<"请输入服务点的个数: "<<endl;
cin>>s;
cout<<"请输入每个顾客需要服务的时间: "<<endl;
for(i=1;i<=n;i++){
cout<<"第"<<i<<"顾客:  "<<endl;   cin>>a;   x.push_back(a);
}
t=greedy(x, s);
cout<<"最小平均等待时间为: "<<t<<endl;
}

运行结果：

汽车加油问题

问题描述：一辆汽车加满油后,可行使nkm。旅途中有若干个加油站。设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油才能使加油次数最少。并证明算法产生一个最优解。

算法设计：对于给定的n和k个加油站位置，计算最少加油次数。

数据输入：由文件inpput.txt给出输入数据。第1行有2个正整数n和k，表示汽车加满油后可行驶nkm，且旅途中有k个加油站。接下来的1行中，有k+1个整数，表示第k个加油站与第k-1个加油站之间的距离。第0个加油站表示出发地，汽车已加满油。第k+1个加油站表示目的地。

结果输出：将计算的最少加油次数输出到文件output.txt.如果无法到达目的地，则输出”No Solution!”。

输入文件示例                          输出文件示例

input.txt                           output.txt

7 7                                     4

1 2 3 4 5 6 6

问题分析： 有几种情况：设加油次数为k，每个加油站间距离为a[i]；i=0，1，2，3……n

（1）始点到终点的距离小于n，则加油次数k=0。

（2）始点到终点的距离大于n。

A  加油站间的距离相等，即ａ[i]=a[j]=L=N，则加油次数最少k=n；

B  加油站间的距离相等，即ａ[i]=a[j]=L>N，则不可能到达终点；

C 加油站间的距离相等，即ａ[i]=a[j]=L<N，则加油次数k=n/N(n%N==0)或

k=[n/N]+1(n%N！=0)；

D  加油站间的距离不相等，即ａ[i]！=a[j]，则加油次数k通过以下算法求解。

算法思路：汽车行驶过程中，应走到自己能走到并且离自己最远的那个加油站，在那个加油站加油后再按照同样的方法贪心。

算法实现：先检测各加油站之间的距离，若发现其中有一个距离大于汽车加满油能跑的距离，则输出no solution。否则，对加油站间的距离进行逐个扫描，尽量选择往远处走，不能走了就让num++，最终统计出来的num便是最少的加油站数。

算法复杂性分析 ：想要知道在哪个加油站加油必须遍历所有的加油站，且不需要重复遍历，所以时间复杂度问O（n）。

代码实现：

/*汽车加油问题
先检测各加油站之间的距离，若发现其中有一个距离大于汽车加满油能跑的距离，则输出no solution
否则，对加油站间的距离进行逐个扫描，尽量选择往远处走，不能走了就让num++，最终统计出来的num便是最少的加油站数
*/
#include <stdio.h>
void greedy(int d[],int n,int k){
FILE *fp;
int num = 0;
for(int i = 0;i <= k;i++){
if(d[i] > n){
printf("no solution!其中有一个距离大于汽车加满油能跑的距离！\n");
return;
}
}
for(int i=0,s=0;i<=k;i++){
s += d[i];
if(s > n) {
num++;
s = d[i];
}
}
printf("最少加油次数为：%d\n",num);
fp=fopen("output.txt","w");
fprintf(fp,"%d",num);
}
int main(){
int i,n,k;
int d[1000];
FILE *fp;
fp=fopen("input.txt","r");
fscanf(fp,"%d%d",&n,&k);
printf("汽车加满油后可行驶: %d km\n旅途中加油站个数为: %d \n",n,k);
for(i=0;i<=k;i++)
fscanf(fp,"%d",&d[i]);
greedy(d,n,k);
fclose(fp);
return 0;
}

文件input.txt的内容（运行程序前）：



output.txt内容（运行程序后）：



运行结果：