重温数据结构:二叉树的常见方法及三种遍历方式 Java 实现
2016-12-10 00:00
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读完本文你将了解到:
什么是二叉树 Binary Tree
两种特殊的二叉树
满二叉树
完全二叉树
满二叉树 和 完全二叉树 的对比图
二叉树的实现
用 递归节点实现法左右链表示法 表示一个二叉树节点
用 数组下标表示法 表示一个节点
二叉树的主要方法
二叉树的创建
二叉树的添加元素
二叉树的删除元素
二叉树的清空
获得二叉树的高度
获得二叉树的节点数
获得某个节点的父亲节点
二叉树的遍历
先序遍历
中序遍历
后序遍历
遍历小结
总结
一道笔试题
树的分类有很多种,但基本都是 二叉树 的衍生,今天来学习下二叉树。
二叉树是有限个节点的集合,这个集合可以是空集,也可以是一个根节点和至多两个子二叉树组成的集合,其中一颗树叫做根的左子树,另一棵叫做根的右子树。
简单地说,二叉树是每个节点至多有两个子树的树,下面的家谱就是一个形象的二叉树:
二叉树的定义是一个递归的定义,其中值得注意的是左右子树的概念,因为有左、右之分,下面两棵树并不是同样的二叉树:
满二叉树
完全二叉树
如果一棵树的高度为 k,且拥有 2^k-1 个节点,则称之为 满二叉树。
什么意思呢?
就是说,每个节点要么必须有两棵子树,要么没有子树。
所有叶子节点都出现在 k 或者 k-1 层,而且从 1 到 k-1 层必须达到最大节点数;
第 k 层可是不是慢的,但是第 k 层的所有节点必须集中在最左边。
简单地说,
就是叶子节点都必须在最后一层或者倒数第二层,而且必须在左边。任何一个节点都不能没有左子树却有右子树。
用这种实现方式表示的节点创建的树,结构如右图所示:
一般使用左右链表示的节点来构造二叉树。
创建
添加元素
删除元素
清空
遍历
获得树的高度
获得树的节点数
返回某个节点的父亲节点
…
在每次插入前都会检查 根节点是否为空,如果是就抛出异常(跟 Android 源码学的嘿嘿)。
但是为了避免浪费无用的内存,方便 GC 及时回收,我们还需要遍历这个元素的左右子树,挨个设为空:
因此获得树的高度需要递归获取所有节点的高度,然后取最大值。
需要从顶向下遍历各个子树,若该子树的根节点的孩子就是目标节点,返回该节点,否则递归遍历它的左右子树:
前面的那些操作可以发现,二叉树的递归数据结构使得很多操作都可以使用递归进行。
而二叉树的遍历其实也是个 递归遍历的过程,使得每个节点被访问且仅访问一次。
根据不同的场景中,根节点、左右子树遍历的顺序,二叉树的遍历分为三种:
先序遍历
中序遍历
后序遍历
这里先序、中序、后序指的是 根节点相对左右子树的遍历顺序。
先访问根节点
再先序遍历左子树
再先序遍历右子树
退出
代码:
先中序遍历左子树
再访问根节点
再中序遍历右子树
退出
代码:
先后序遍历左子树
再后序遍历右子树
最后访问根节点
退出
代码:
以上图为例,三种遍历结果:
先序遍历:
1 2 4 5 7 3 6
中序遍历:
4 2 7 5 1 3 6
后序遍历:
4 7 5 2 6 3 1
其中三种遍历方式一般在面试中可能会考察,给你两种遍历结果,让你画出实际的二叉树结构。只要掌握三种遍历方式的区别,即可解答。
题目描述:
给定一棵二叉树的前序遍历和中序遍历,求其后序遍历(提示:给定前序遍历与中序遍历能够唯一确定后序遍历)。
输入:
两个字符串,其长度n均小于等于26。
第一行为前序遍历,第二行为中序遍历。
二叉树中的结点名称以大写字母表示:A,B,C….最多26个结点。
输出:
输入样例可能有多组,对于每组测试样例,
输出一行,为后序遍历的字符串。
样例输入:
FDXEAG
XDEFAG
样例输出是多少呢?
什么是二叉树 Binary Tree
两种特殊的二叉树
满二叉树
完全二叉树
满二叉树 和 完全二叉树 的对比图
二叉树的实现
用 递归节点实现法左右链表示法 表示一个二叉树节点
用 数组下标表示法 表示一个节点
二叉树的主要方法
二叉树的创建
二叉树的添加元素
二叉树的删除元素
二叉树的清空
获得二叉树的高度
获得二叉树的节点数
获得某个节点的父亲节点
二叉树的遍历
先序遍历
中序遍历
后序遍历
遍历小结
总结
一道笔试题
树的分类有很多种,但基本都是 二叉树 的衍生,今天来学习下二叉树。
什么是二叉树 Binary Tree
先来个定义:二叉树是有限个节点的集合,这个集合可以是空集,也可以是一个根节点和至多两个子二叉树组成的集合,其中一颗树叫做根的左子树,另一棵叫做根的右子树。
简单地说,二叉树是每个节点至多有两个子树的树,下面的家谱就是一个形象的二叉树:
二叉树的定义是一个递归的定义,其中值得注意的是左右子树的概念,因为有左、右之分,下面两棵树并不是同样的二叉树:
两种特殊的二叉树
有两种特殊的二叉树:满二叉树
完全二叉树
满二叉树
在上文 树及 Java 实现 中我们介绍了 树的高度 的定义,而这里 满二叉树 的定义是:如果一棵树的高度为 k,且拥有 2^k-1 个节点,则称之为 满二叉树。
什么意思呢?
就是说,每个节点要么必须有两棵子树,要么没有子树。
完全二叉树
完全二叉树是一种特殊的二叉树,满足以下要求:所有叶子节点都出现在 k 或者 k-1 层,而且从 1 到 k-1 层必须达到最大节点数;
第 k 层可是不是慢的,但是第 k 层的所有节点必须集中在最左边。
简单地说,
就是叶子节点都必须在最后一层或者倒数第二层,而且必须在左边。任何一个节点都不能没有左子树却有右子树。
满二叉树 和 完全二叉树 的对比图
来一张图对比下两者:二叉树的实现
二叉树的实现比普通树简单,因为它最多只有两个节点嘛。用 递归节点实现法/左右链表示法 表示一个二叉树节点
public class BinaryTreeNode { /* * 一个二叉树包括 数据、左右孩子 三部分 */ private int mData; private BinaryTreeNode mLeftChild; private BinaryTreeNode mRightChild; public BinaryTreeNode(int data, BinaryTreeNode leftChild, BinaryTreeNode rightChild) { mData = data; mLeftChild = leftChild; mRightChild = rightChild; } public int getData() { return mData; } public void setData(int data) { mData = data; } public BinaryTreeNode getLeftChild() { return mLeftChild; } public void setLeftChild(BinaryTreeNode leftChild) { mLeftChild = leftChild; } public BinaryTreeNode getRightChild() { return mRightChild; } public void setRightChild(BinaryTreeNode rightChild) { mRightChild = rightChild; } }
用这种实现方式表示的节点创建的树,结构如右图所示:
用 数组下标表示法 表示一个节点
public class BinaryTreeArrayNode { /** * 数组实现,保存的不是 左右子树的引用,而是数组下标 */ private int mData; private int mLeftChild; private int mRightChild; public int getData() { return mData; } public void setData(int data) { mData = data; } public int getLeftChild() { return mLeftChild; } public void setLeftChild(int leftChild) { mLeftChild = leftChild; } public int getRightChild() { return mRightChild; } public void setRightChild(int rightChild) { mRightChild = rightChild; } }
一般使用左右链表示的节点来构造二叉树。
二叉树的主要方法
有了节点后接下来开始构造一个二叉树,二叉树的主要方法有:创建
添加元素
删除元素
清空
遍历
获得树的高度
获得树的节点数
返回某个节点的父亲节点
…
1.二叉树的创建
创建一个二叉树很简单,只需要有一个 二叉根节点,然后提供设置根节点的方法即可:public class BinaryTree { private BinaryTreeNode mRoot; //根节点 public BinaryTree() { } public BinaryTree(BinaryTreeNode root) { mRoot = root; } public BinaryTreeNode getRoot() { return mRoot; } public void setRoot(BinaryTreeNode root) { mRoot = root; } }
2.二叉树的添加元素
由于二叉树有左右子树之分,所以添加元素时也分为两种情况:添加为左子树还是右子树:public void insertAsLeftChild(BinaryTreeNode child){ checkTreeEmpty(); mRoot.setLeftChild(child); } public void insertAsRightChild(BinaryTreeNode child){ checkTreeEmpty(); mRoot.setRightChild(child); } private void checkTreeEmpty() { if (mRoot == null){ throw new IllegalStateException("Can't insert to a null tree! Did you forget set value for root?"); } }
在每次插入前都会检查 根节点是否为空,如果是就抛出异常(跟 Android 源码学的嘿嘿)。
3.二叉树的删除元素
删除某个元素很简单,只需要把自己设为 null。但是为了避免浪费无用的内存,方便 GC 及时回收,我们还需要遍历这个元素的左右子树,挨个设为空:
public void deleteNode(BinaryTreeNode node){ checkTreeEmpty(); if (node == null){ //递归出口 return; } deleteNode(node.getLeftChild()); deleteNode(node.getRightChild()); node = null; }
4.二叉树的清空
二叉树的清空其实就是特殊的删除元素–删除根节点,因此很简单:public void clear(){ if (mRoot != null){ deleteNode(mRoot); } }
5.获得二叉树的高度
二叉树中,树的高度是 各个节点度的最大值。因此获得树的高度需要递归获取所有节点的高度,然后取最大值。
/** * 获取树的高度 ,特殊的获得节点高度 * @return */ public int getTreeHeight(){ return getHeight(mRoot); } /** * 获得指定节点的度 * @param node * @return */ public int getHeight(BinaryTreeNode node){ if (node == null){ //递归出口 return 0; } int leftChildHeight = getHeight(node.getLeftChild()); int rightChildHeight = getHeight(node.getRightChild()); int max = Math.max(leftChildHeight, rightChildHeight); return max + 1; //加上自己本身 }
6.获得二叉树的节点数
获得二叉树的节点数,需要遍历所有子树,然后加上总和。public int getSize(){ return getChildSize(mRoot); } /** * 获得指定节点的子节点个数 * @param node * @return */ public int getChildSize(BinaryTreeNode node){ if (node == null){ return 0; } int leftChildSize = getChildSize(node.getLeftChild()); int rightChildSize = getChildSize(node.getRightChild()); return leftChildSize + rightChildSize + 1; }
7.获得某个节点的父亲节点
由于我们使用左右子树表示的节点,不含有父亲节点引用,因此有时候可能也需要一个方法,返回二叉树中,指定节点的父亲节点。需要从顶向下遍历各个子树,若该子树的根节点的孩子就是目标节点,返回该节点,否则递归遍历它的左右子树:
/** * 获得指定节点的父亲节点 * @param node * @return */ public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode node) { if (mRoot == null || mRoot == node) { //如果是空树,或者这个节点就是根节点,返回空 return null; } else { return getParent(mRoot, node); //否则递归查找 父亲节点 } } /** * 递归对比 节点的孩子节点 与 指定节点 是否一致 * * @param subTree 子二叉树根节点 * @param node 指定节点 * @return */ public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode subTree, BinaryTreeNode node) { if (subTree == null) { //如果子树为空,则没有父亲节点,递归出口 1 return null; } //正好这个根节点的左右孩子之一与目标节点一致 if (subTree.getLeftChild() == node || subTree.getRightChild() == node) { //递归出口 2 return subTree; } //需要遍历这个节点的左右子树 BinaryTreeNode parent; if ((parent = getParent(subTree.getLeftChild(), node)) != null) { //左子树节点就是指定节点,返回 return parent; } else { return getParent(subTree.getRightChild(), node); //从右子树找找看 } }
二叉树的遍历
二叉树的遍历单独介绍,是因为太重要了!以前考试就老考这个。前面的那些操作可以发现,二叉树的递归数据结构使得很多操作都可以使用递归进行。
而二叉树的遍历其实也是个 递归遍历的过程,使得每个节点被访问且仅访问一次。
根据不同的场景中,根节点、左右子树遍历的顺序,二叉树的遍历分为三种:
先序遍历
中序遍历
后序遍历
这里先序、中序、后序指的是 根节点相对左右子树的遍历顺序。
先序遍历
即根节点在左右子树之前遍历:先访问根节点
再先序遍历左子树
再先序遍历右子树
退出
代码:
/** * 先序遍历 * @param node */ public void iterateFirstOrder(BinaryTreeNode node){ if (node == null){ return; } operate(node); iterateFirstOrder(node.getLeftChild()); iterateFirstOrder(node.getRightChild()); } /** * 模拟操作 * @param node */ public void operate(BinaryTreeNode node){ if (node == null){ return; } System.out.println(node.getData()); }
中序遍历
遍历顺序:先中序遍历左子树
再访问根节点
再中序遍历右子树
退出
代码:
/** * 中序遍历 * @param node */ public void iterateMediumOrder(BinaryTreeNode node){ if (node == null){ return; } iterateMediumOrder(node.getLeftChild()); operate(node); iterateMediumOrder(node.getRightChild()); }
后序遍历
即根节点在左右子树之后遍历:先后序遍历左子树
再后序遍历右子树
最后访问根节点
退出
代码:
/** * 后序遍历 * @param node */ public void iterateLastOrder(BinaryTreeNode node){ if (node == null){ return; } iterateLastOrder(node.getLeftChild()); iterateLastOrder(node.getRightChild()); operate(node); }
遍历小结
可以看到,三种遍历方式的区别就在于递归的先后。以上图为例,三种遍历结果:
先序遍历:
1 2 4 5 7 3 6
中序遍历:
4 2 7 5 1 3 6
后序遍历:
4 7 5 2 6 3 1
总结
这篇文章介绍了 数据结构中的二叉树的基本概念,常用操作以及三种遍历方式。其中三种遍历方式一般在面试中可能会考察,给你两种遍历结果,让你画出实际的二叉树结构。只要掌握三种遍历方式的区别,即可解答。
一道笔试题
二叉树遍历题目描述:
给定一棵二叉树的前序遍历和中序遍历,求其后序遍历(提示:给定前序遍历与中序遍历能够唯一确定后序遍历)。
输入:
两个字符串,其长度n均小于等于26。
第一行为前序遍历,第二行为中序遍历。
二叉树中的结点名称以大写字母表示:A,B,C….最多26个结点。
输出:
输入样例可能有多组,对于每组测试样例,
输出一行,为后序遍历的字符串。
样例输入:
FDXEAG
XDEFAG
样例输出是多少呢?
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