最小生成树(Prim算法)
2016-12-09 20:04
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算法分析:
prim算法适合稠密图,时间复杂度为O(n^2),时间复杂度与边的条数无关。
概念:
边带有权值的图称为带权图或者网,带权图的生成树也是带权的,生成树T各边的权值总和称为该树的权。
1.最小生成树(MST):权值最小的生成树。
2.构造最小生成树应该满足一下两个性质:
尽可能的选取权值小的边,但是不能构成回路。
选取n-1条恰当的边连通n个顶点。
MST性质:
假设G=(V,E)是一个连通网,U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。(U是待完成的最小生成树的点的集合)
基本思路:
假设G=(V,E)是连通的,TE是G上最小生成树中边的集合。算法的开始状态是U={u0}(u0∈V),TE={}。重复执行以下的操作:
在所有的u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)加入集合TE中,同时v0放入U中,直到V=U为止。
模板代码:
prim算法适合稠密图,时间复杂度为O(n^2),时间复杂度与边的条数无关。
概念:
边带有权值的图称为带权图或者网,带权图的生成树也是带权的,生成树T各边的权值总和称为该树的权。
1.最小生成树(MST):权值最小的生成树。
2.构造最小生成树应该满足一下两个性质:
尽可能的选取权值小的边,但是不能构成回路。
选取n-1条恰当的边连通n个顶点。
MST性质:
假设G=(V,E)是一个连通网,U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。(U是待完成的最小生成树的点的集合)
基本思路:
假设G=(V,E)是连通的,TE是G上最小生成树中边的集合。算法的开始状态是U={u0}(u0∈V),TE={}。重复执行以下的操作:
在所有的u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)加入集合TE中,同时v0放入U中,直到V=U为止。
模板代码:
#include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> #define maxn 1005 using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int sum; int _cout; int e[maxn][maxn]; bool vis[maxn]; //记录每一个结点是否已经在最小生成树中,如果已经被放入,则为true int dis[maxn]; //保存临时距离的数组 int min_w; int main() { int n,m; //n表示结点的数量,m表示给出的信息量; int t1,t2,t3; //设置3个临时变量 int node; //保存临时结点 while(scanf("%d %d",&n,&m) == 2) { //数组初始化 memset(vis,false,sizeof(vis)); sum = 0; _cout = 0; //初始化邻接矩阵,对角线上的元素表示点自身,所以初始化为0,其他的初始化为一个极大值 for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { if(i == j) e[i][j] = 0; else e[i][j] = INF; } } //读取数据 for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3); //无向图对称化处理 e[t1][t2] = t3; e[t2][t1] = t3; } for(int i=1;i<=n;i++) { dis[i] = e[1][i]; //先把1结点放进最小生成树,dis数组记录了从1结点到其他结点的权值 } vis[1] = true; //下面开始构建最小生成树 for(int i=2;i<=n;i++) //第一个结点已经放入最小生成树,因此遍历起始点从2开始 { min_w = INF; //把最小权重表示为一个最大值,因为在下面的比较中会存在权重为INF的边 for(int j=1;j<=n;j++) { if(dis[j] < min_w && !vis[j]) { min_w = dis[j]; //遍历找到最小权值边 node = j; //保存并更新具有最小权值的结点 } } vis[node] = true; sum += min_w; for(int j=1;j<=n;j++) { /*每次插入一个点都要进行更新dis数组的值, dis数组保存的是当前最小生成树的所有结点中到结点j的最小权值 */ if(!vis[j] && dis[j] > e[node][j]) dis[j] = e[node][j]; } } printf("%d\n",sum); } return 0; }
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