傅里叶级数和傅里叶变换(从线性代数角度)

主要参考Stanford的公开课。

cos(x),sin(x), eix 的转换

周期是2π 的情况

f(x)=a0+∑1∞akcos(kx)+∑1∞bksin(kx)

f(x)=∑0∞ckeikx

ck=ak2−ibk2(k>0)

由于c−k=ck¯¯¯，所以第二个式子中虚部最后是被消掉的。

假设

ck=a2−ib2

ckeikx+c−ke−ikx

=(a−ib)[cos(kx)+isin(kx)]+(a+ib)[cos(kx)−isin(kx)]2

=acoskx+bsinkx

把函数和向量类比

首先是复变函数内积的定义，

∫f(x)g(x)¯¯¯¯¯¯dx

有了内积之后，就可以定义正交了，

∫f(x)g(x)¯¯¯¯¯¯dx=0

然后，

cos(x),cos(2x),cos(3x)...sin(x),sin(2x),sin(3x)...

是一组正交向量，但是本科的时候就只理解到这里，其实还可以再向后想一点点的，

...,e−2ix,e−ix,e0ix,eix,e2ix,e3ix,...

也是一组正交的向量，但是后者更好，因为后面每个向量的长度是相同的，也就是，

∫2π0cosxcosxdx=π

∫2π01dx=2π

∫2π0eixe−ixdx=2π

还有一个小细节，这两组基的个数是相等的，都是整数的个数。

把一个函数转成一组正交函数的线性组合，相当于把这个函数向这些正交基投影,

ck2π−−√=∫2π0f(x)eikx¯¯¯¯¯2π−−√dx

或者，

ck=12π∫2π0f(x)e−ikxdx

周期为T 时，

ck=1T∫T0f(x)e−ik2πTxdx

然后是收敛条件，

limk→∞∫2π0(f(x)−∑0kckeikx)2dx=0

积分和差的平方和在一起是不是有最小二乘法的感觉，用向量的东西做类比就是f(x)是可以完全被这组有无穷个的正交的基表示。

然后是energy，

∑0∞|ck|2

或者，

∑0∞ckck¯¯¯

也就是在取定基下，向量的长度。

傅里叶变换

从傅里叶级数到傅里叶变换，视频中老师用的办法是使 T→∞。

具体是随便一个定义域是闭区间的函数，把这个函数的定义域扩大，扩大的地方函数值为0。由于周期越来越大，想要的傅里叶级数展开的每一项系数会越来越小，最终变为0。为了时傅里叶级数不为零，所以把求傅里叶级数的系数时前面要乘的1T 去掉，于是变为,

ck=∫+∞−∞f(x)e−ikxdx

其实，这里我还是没有想明白。

不过也许可以从另一个角度想，

f(x) 可以看成是一组自然基底δ(x−x0),x0∈R 的线性组合，由于基是连续的，所以求和只好变为积分,

f(x)=∫+∞−∞f(x0)δ(x−x0)dx0

同时，f(x) 还可以看成是另一组基底ei2πsx,s∈R 的线性组合，

f(x)=∫+∞−∞csei2πsxds

为了比较，把前面式子中的x0 换成s，

f(x)=∫+∞−∞f(s)δ(x−s)ds

这样就可以很清楚的看到：

f(s)和cs相对应，都是函数给定后，就确定的常数，只是前者是一眼就能看出的，后者需要傅里叶变换才能求出

δ(x−s) 和 ei2πsx 相对应 他们都是s 和 x 的函数，在x自由变化时，刚好组成两组正交的基底，并且两组基的个数是相同的，都是x可以取的值的个数，也就是实数的个数。

这里有个重要的等式，

∫+∞−∞eiasds=δ(a)

或者，

∫+∞−∞eisx1eisx2¯¯¯¯¯¯ds=∫+∞−∞eisx1e−isx2ds=∫+∞−∞eis(x1−x2)ds=δ(x1−x2)