SPFA 算法详解( 强大图解，不会都难！)

适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止

 

期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

 

实现方法：

　　建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

判断有无负环：

　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

 



 

 

 
e399

首先建立起始点a到其余各点的

最短路径表格

                                  


首先源点a入队，当队列非空时：

　１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：

                                  


在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点

需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：

                                 


在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要

入队，此时队列中的元素为c，d，e

队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：

                                 


在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此

e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f

 队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

 

 

                               


在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g

队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：

                               


在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e

队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：

                           


在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b

队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

 

                          


在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：

                         


在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了

最终a到g的最短路径为１４

program:

#include<cstdio>
using namespace std;
struct node
{int x;
int value;
int next;
};
node e[60000];
int visited[1505],dis[1505],st[1505],queue[1000];
int main()
{
int n,m,u,v,w,start,h,r,cur;
freopen("c.in","r",stdin);
freopen("c.out","w",stdout);
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(int i=1;i<=1500;i++)
{visited[i]=0;
dis[i]=-1;
st[i]=-1; //这个初始化给下边那个while循环带来影响
}

for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d\n",&u,&v,&w);
e[i].x=v; //记录后继节点 相当于链表中的创建一个节点，并使得数据域先记录
e[i].value=w;
e[i].next=st[u]; //记录顶点节点的某一个边表节点的下标，相当于在链表中吧该边表节点的next指针先指向他的后继边表节点
st[u]=i; //把该顶点的指针指向边表节点，相当于链表中的插入中，头结点的指针改变
}
start=1;
visited[start]=1;
dis[start]=0;
h=0;
r=1;
queue[r]=start;
while(h!=r)
{
h=(h+1)%1000;
cur=queue[h];
int tmp=st[cur];
visited[cur]=0;

while(tmp!=-1)
{
if (dis[e[tmp].x]<dis[cur]+e[tmp].value) //改成大于号才对
{
dis[e[tmp].x]=dis[cur]+e[tmp].value;
if(visited[e[tmp].x]==0)
{
visited[e[tmp].x]=1;
r=(r+1)%1000;
queue[r]=e[tmp].x;
}
}
tmp=e[tmp].next;
}
}
printf("%d\n",dis
);
}
return 0;
}