x^(1/x)相关问题极限求解思路

x^(1/x)相关问题极限求解思路

看一道问题。

（2010，数三）limx→+∞(x1x−1)1lnx

分析：这种类型的问题，如果不掌握对待x1x的求解导数的方法就会陷入很大的麻烦。此外在极限求解中，如果可以化到代入为常数且关系式是相乘且不为0，那么就可以直接代入。这比用泰勒展开还要快，因为用泰勒确实直接，但是展开式将极其复杂。

这里，首先用大家e起来判断是什么形式。

limx→+∞x1x=limx→+∞elnxx=e0=1

因此，原问题实际上是00型。

那么，原问题化为：

limx→+∞(x1x−1)1lnx=limx→+∞e1lnxln(x1x−1)

不要带着整个形式去求解，而是轻装简从：求解幂指数，像火箭发射一样，适当脱离前面的燃料壳才能继续往上。

即：

limx→+∞1lnxln(x1x−1)=limx→+∞ln(x1x−1)lnx

此时是无穷大比无穷大型。如果直接洛必达，将会发现求导形式根本hold不住。因此：

e起来。

limx→+∞ln(x1x−1)lnx=limx→+∞ln(elnxx−1)lnx=limx→+∞x(e口)′e口−1,洛必达法则，口=lnxx

用整体观代替可以减少复杂性。这样，我们再次只需要关注框的求导即可。

(e口)′=elnxx1−lnxx2

回代，得到：

limx→+∞ln(x1x−1)lnx=limx→+∞ln(elnxx−1)lnx=limx→+∞1−lnxx(elnxx−1)=limx→+∞1−lnxlnx,elnxx−1∼lnxx=−1

很难相信这是数学三的题目。