关于 Bellman-Ford 与 Floyd 算法的一点感想

在四种常用的最短路算法 Dijkstra, SPFA, floyd, Bellman-Ford 中, Dijks 和 SPFA 的使用较为普遍, 对大多数人来说, 也较为熟悉. 然而, floyd 与 BF 算法在一些特定的情况下也是非常管用的, 因此有必要在这里作出一点总结.

Floyd的基本思路就是枚举任意两个点i, j, 再枚举任意的第三个点k, 用d[i][k] + d[j][k] 来松弛d[i][j]的值. 时间复杂度为O(n ^ 3), 优点在于可以求出任意两点之间的距离, 在稠密图中也非常管用.

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int &INF=100000000;
void floyd(vector<vector<int> > &distmap,//可被更新的邻接矩阵，更新后不能确定原有边
vector<vector<int> > &path)//路径上到达该点的中转点
//福利：这个函数没有用除INF外的任何全局量，可以直接复制！
{
const int &NODE=distmap.size();//用邻接矩阵的大小传递顶点个数，减少参数传递
path.assign(NODE,vector<int>(NODE,-1));//初始化路径数组
for(int k=1; k!=NODE; ++k)//对于每一个中转点
for(int i=0; i!=NODE; ++i)//枚举源点
for(int j=0; j!=NODE; ++j)//枚举终点
if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不满足三角不等式
{
distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新
path[i][j]=k;//记录路径
}
}
void print(const int &beg,const int &end,
const vector<vector<int> > &path)//传引用，避免拷贝，不占用内存空间
//也可以用栈结构先进后出的特性来代替函数递归
{
if(path[beg][end]>=0)
{
print(beg,path[beg][end],path);
print(path[beg][end],end,path);
}
else cout<<"->"<<end;
}
int main()
{
int n_num,e_num,beg,end;//含义见下
cout<<"（不处理负权回路）输入点数、边数：";
cin>>n_num>>e_num;
vector<vector<int> > path,
distmap(n_num,vector<int>(n_num,INF));//默认初始化邻接矩阵
for(int i=0,p,q; i!=e_num; ++i)
{
cout<<"输入第"<<i+1<<"条边的起点、终点、长度（100000000代表无穷大，不联通）：";
cin>>p>>q;
cin>>distmap[p][q];
}
floyd(distmap,path);
cout<<"计算完毕，可以开始查询，请输入出发点和终点：";
cin>>beg>>end;
cout<<"最短距离为"<<distmap[beg][end]<<"，打印路径："<<beg;
print(beg,end,path);
}

Bellman-Ford是SPFA算法的前身, 时间复杂度为O(VE)…非常慢, 但是可以用于判断负权回路. 常用于差分约束系统中. Bellman-Ford这种写法相当暴力, 直接循环nodeNum次, 每次枚举每一条边, 假如这条边可以用于松弛源点到端点的距离, 则进行松弛. 至于判断负环, 再枚举一遍所有边, 假如存在边仍能用于松弛, 则说明存在负权回路.

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点

typedef struct Edge //边
{
int u, v;
int cost;
}Edge;

Edge edge
;
int dis
, pre
;

bool Bellman_Ford()
{
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
{
dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
pre[edge[j].v] = edge[j].u;
}
bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
{
flag = 0;
break;
}
return flag;
}

void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
while(root != pre[root]) //前驱
{
printf("%d-->", root);
root = pre[root];
}
if(root == pre[root])
printf("%d\n", root);
}

int main()
{
scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
pre[original] = original;
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
{
scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
}
if(Bellman_Ford())
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
{
printf("%d\n", dis[i]);
printf("Path:");
print_path(i);
}
else
printf("have negative circle\n");
return 0;
}