不同的路径
2016-11-08 16:31
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有一个机器人的位于一个M×N个网格左上角(下图中标记为'Start')。
机器人每一时刻只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(下图中标记为'Finish')。
问有多少条不同的路径?
样例
以上3 x 7的网格中,有多少条不同的路径?
【解法一】数学思路
从左上角到达右下角的路径是向下走m-1步和向右走n-1步的排列组合
即C((m+n-2) , (n-1))=C((m+n-2) , (m-1))=(m+n-2)! / ((m-1)! *(n-1)!)
public int uniquePaths(int m, int n) {
// write your code here
if(m==1 || n==1)
return 1;
long path=1;//注意要用long 阶乘可能超出Int范围
m=m-1;
n=n-1;//为了计算方便
for(int i=1; i<=n; i++){
path=path*(m+i)/i;
}
return (int)path;
}
【解法二】动态规划
动态规划的步骤为: (参考网上资料)
1, 刻画一个最优解的结构特征
2, 递归的定义最优解的值
3, 采用自底向上的方法求解最优解的值。
基于这三个步骤来求解这问题:
1,构造一个最优解的结构特征:
在求解path[m,n]的时候我们必然要知道path[m-1]
和 path[m][n-1]的值。因此,在求解path[i][j]是我们需要先求解其子问题path[i-1][j] 和path[i][j-1]
2, 递归的定义最优解的值:
由于到达path[i][j]有两条路径path[i-1][j]和path[i][j-1],因此我们有 path[i][j] += path[i-1][j] + path[i][j-1]如果路径存在的话 3,实现最优解
int path[][] = new int[m+1][n+1];//初始化数组 因为左上角要从[1][1]开始
for(int i=0;i<m+1;i++)
for(int j=0;j<n+1;j++)
path[i][j]=0;
path[1][1]=1;
for(int p=1;p<m+1;p++)
for(int q=1;q<n+1;q++){//考虑到要有p-1 q-1所以从1开始循环
path[p][q]+=path[p-1][q]+path[p][q-1];
}
return path[m]
;
机器人每一时刻只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(下图中标记为'Finish')。
问有多少条不同的路径?
样例
1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 |
2,1 | ||||||
3,1 | 3,7 |
【解法一】数学思路
从左上角到达右下角的路径是向下走m-1步和向右走n-1步的排列组合
即C((m+n-2) , (n-1))=C((m+n-2) , (m-1))=(m+n-2)! / ((m-1)! *(n-1)!)
public int uniquePaths(int m, int n) {
// write your code here
if(m==1 || n==1)
return 1;
long path=1;//注意要用long 阶乘可能超出Int范围
m=m-1;
n=n-1;//为了计算方便
for(int i=1; i<=n; i++){
path=path*(m+i)/i;
}
return (int)path;
}
【解法二】动态规划
动态规划的步骤为: (参考网上资料)
1, 刻画一个最优解的结构特征
2, 递归的定义最优解的值
3, 采用自底向上的方法求解最优解的值。
基于这三个步骤来求解这问题:
1,构造一个最优解的结构特征:
在求解path[m,n]的时候我们必然要知道path[m-1]
和 path[m][n-1]的值。因此,在求解path[i][j]是我们需要先求解其子问题path[i-1][j] 和path[i][j-1]
2, 递归的定义最优解的值:
由于到达path[i][j]有两条路径path[i-1][j]和path[i][j-1],因此我们有 path[i][j] += path[i-1][j] + path[i][j-1]如果路径存在的话 3,实现最优解
int path[][] = new int[m+1][n+1];//初始化数组 因为左上角要从[1][1]开始
for(int i=0;i<m+1;i++)
for(int j=0;j<n+1;j++)
path[i][j]=0;
path[1][1]=1;
for(int p=1;p<m+1;p++)
for(int q=1;q<n+1;q++){//考虑到要有p-1 q-1所以从1开始循环
path[p][q]+=path[p-1][q]+path[p][q-1];
}
return path[m]
;
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