判断点是否在多边形内

摘要: 使用射线法（奇偶法）和 转角法判断

射线法（奇偶法）

只适用于简单多边形（没有自相交点）。从P点开始的射线穿过多边形边界次数，多边形的边界将多边形分为内部和外部。如果是偶数在多边形外部，否则奇数在多边形内部。如下图所示Pin为内部点，Qout为外部点，n为通过边界次数。



另如果射线经过顶点的时候，一个标准的预定是在左边界或下边界的点认定多边形内部，在右边界或上边界的点认为在多边形外部。例如两个不同多边形共享一个公共边，那么在这条边上点会在一个多边形内部而在另一个多边形外部。这样可以避免了在计算机图形显示中会出现的一些问题。

穿越规则测试规则：

1. 方向向上的边包括其开始点，不包括其终止点。

2.方向向下的边不包括其开始点，包括其终止点。

3.水平边不参与穿越测试（前提是选择水平的、向点P右边延伸的射线）。

4.射线和多边形的边焦点必须严格在P点右侧（规定了多边形右边边界上的点在多边形外部，在左边边界上的点在多边形内部）。

满足以上规则计算2个线段是否相交。

转角法

转角法非常简单：按照多边形顶点逆时针顺序，从P点到顶点Vi分别做连线，其中αi为Vi和Vi+1之间的夹角。如果α角度逆时针为正，顺时针为负，这样所有到顶点做连线之间夹角和为(环绕数)0，这点P在多边形外部，否则在内部。



如上图所示P点到各个顶点连线夹角和为0，即P在多边形外部。



如上图所示，角度之和 > 0 为在多边形内部。

环绕数推导公式 wn = 1/2π(α0 + α1 + ...... + αi) i ∈[0, n-1] 推导 wn = 1/2π(PVi*PVi+1/|PVi||PVi+1|) i ∈ [0, n-1]。该公式arccos比较耗时。

另两种判断方法：

1. 从P点向右做射线R，如果边从射线R下方跨到上方，那么穿越+1，如果从上方跨到下方，则是-1。最终和为wn环绕数。如下图所示：



2. 这种方法不必去计算射线和边的交点，但需要判断点P是否在边的左边，但对于方向向上和向下的边的判断与是否在左边规则不同。对于方向向上的边，如果穿过设想到达P的右边，那么P是在边的左侧；方向向下的边如果穿越射线的正方向，那么P在边的右边（意思是说判断点P与边的关系，而不是相对坐标系内位置）。



如上图a 和图b中P点都是位于射线左侧，但是向上和向下方向的边P点位于不同位置。

伪代码如下：需要注意的是同样需要准守射线法中1、2、4项规则。