菜鸟学习从入门到放弃(一)关于动态规划一些不太成熟的小理解
2016-10-20 16:24
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最近,碰到很多动态规划的题目,看书自学了点相关知识,分享给大家,水平有限,欢迎指正。我只是知识的搬运工,当然其中夹杂一些自己不成熟的理解。
动态规划常用于求解最优化问题。比较典型的有:钢条切割问题、矩阵链乘法、最长公共子序列、字符串的交替链接和子序列数目等问题。下面从概念以及实例两方面解释。
动态规划(英语:Dynamic programming,简称DP)是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题[1]和最优子结构性质的问题,动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。[1]
动态规划与分治方法相似,都是通过组合子问题的解来求解原问题。分治将问题划分为不相交的子问题,递归求解子问题,再将它们的解组合起来,求出原问题的解。与之相反,动态规划应用于子问题重叠的情况,及不同的子问题具有公共的子子问题。[2]
以上概念来自,维基百科和算法导论,从概念上我们就能看出动态规划最重要的两个性质:(1)最优子结构(2)重叠子问题。
最优子结构:问题的最优解由相关子问题的最优解组成,而这些问题可以独立求解。
重叠子问题:问题可以通过反复求解相同的子问题得到最优解。
最优子结构方便定义状态转移得到状态转移方程,重叠子问题指示问题的解决方法。
我们先定义一个问题方便引用分析(算法导论动态规划的第一个实例稍加改动):钢条长度与价格的关系如表所示
钢条价格表
假设只能做整数切割,现在有 一个4米的钢条应该如何切割才能获得最高价格?
直观分析4米的切割方法有4、1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2四种其中2+2的分割可以获得最大价格5+5=10。这里面隐含最优子结构和重叠子问题两个重要概念。
最优子结构性质:将4米钢条分割为2+2的钢条,对于2米的钢条有2或1+1=两种分法,我们最后通过判断2比1+1组合价格更高所以选定2这个方案。我们将问题分割为更小规模的2米钢条分割的问题,并在子问题中求得切割方案的最优解,构成原问题的最优解,这就是最优子结构性质。
重叠子问题:4米钢条分法中:4、1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2不管什么组合都会得到关于求解1、2、3、4的更小钢条分割的子问题。比如2+2中反复求解最优子结构2米钢条最优解,1+1+1+1中反复求解1米钢条的最优解(虽然只有一个)。动态规划中通常应用记忆化方法,第一次计算将这些需要反复求解的子问题存到一个表中,再次需要计算时查表就可以得到值。
如果是7米呢?
如果我们将它分为3+4我们就找3米和4米的最优解,而4米钢条分割问题已经在上面求解为2+2所以最后的最优解为2+2+3。其中2米3米4米的最优解都是前面求解的子问题即重叠子问题。(另一个解1+6思想一样)
概念和实例都看过,我们就来看动态规划问题的解决方法,动态规划的解决问题核心就是状态转移方程。不管带备忘的自顶向下法还是自底向上法都是基于状态转移方程,无非求解问题的方式不同而已,核心的状态转移方程都没有变化。
还是看上面实例,对于n米钢条切割最高价格问题,n米钢条首先切割为2段,m和n-m,价格p,最优价格为r:
r=max(r(m))+max(r(n-m));
对于m和n-m长的钢条切割子问题满足最优子结构和重叠子问题性质,上面式子即为状态转移方程。进一步看算法导论中给出了这个问题的简化版本简化问题,将钢条从左边切割下长度为m的一段,只对右边n-m继续切割,对左边不再继续切割。所以状态转移方程成为
r=max(p(m)+r(n-m))
得到状态转移方程就得到了最核心的状态变化,代码附在最后。
总结
动态规划的核心是状态的定义和状态转移,其中最优子结构和重叠子是用来分析问题的,解决问题还是通过状态转移方程,而对于递归、记忆性和重叠子问题都是简化问题的技巧。
动态规划与分治:适合分治方法求解的问题通常在递归的每一步都产生全新的子问题[3],动态规划则是反复求解想通的子问题。
动态规划与贪心:在一个课程上听过一个老师讲过如图1的理解。贪心算法每一步都获得当前的最优解,当前问题的子问题都是最优解不需要重复求解子问题,形式为单链式的。动态规划当前问题的最优解需要组合子问题,需要反复求解子问题,是相互影响的。
代码(以7米分割为例):
[1]维基百科https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92
[2]算法导论(第三版).204
[3]算法导论(第三版).219
动态规划常用于求解最优化问题。比较典型的有:钢条切割问题、矩阵链乘法、最长公共子序列、字符串的交替链接和子序列数目等问题。下面从概念以及实例两方面解释。
动态规划(英语:Dynamic programming,简称DP)是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题[1]和最优子结构性质的问题,动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。[1]
动态规划与分治方法相似,都是通过组合子问题的解来求解原问题。分治将问题划分为不相交的子问题,递归求解子问题,再将它们的解组合起来,求出原问题的解。与之相反,动态规划应用于子问题重叠的情况,及不同的子问题具有公共的子子问题。[2]
以上概念来自,维基百科和算法导论,从概念上我们就能看出动态规划最重要的两个性质:(1)最优子结构(2)重叠子问题。
最优子结构:问题的最优解由相关子问题的最优解组成,而这些问题可以独立求解。
重叠子问题:问题可以通过反复求解相同的子问题得到最优解。
最优子结构方便定义状态转移得到状态转移方程,重叠子问题指示问题的解决方法。
我们先定义一个问题方便引用分析(算法导论动态规划的第一个实例稍加改动):钢条长度与价格的关系如表所示
长度i(m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
价格Pi | 1 | 5 | 8 | 9 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 30 |
直观分析4米的切割方法有4、1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2四种其中2+2的分割可以获得最大价格5+5=10。这里面隐含最优子结构和重叠子问题两个重要概念。
最优子结构性质:将4米钢条分割为2+2的钢条,对于2米的钢条有2或1+1=两种分法,我们最后通过判断2比1+1组合价格更高所以选定2这个方案。我们将问题分割为更小规模的2米钢条分割的问题,并在子问题中求得切割方案的最优解,构成原问题的最优解,这就是最优子结构性质。
重叠子问题:4米钢条分法中:4、1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2不管什么组合都会得到关于求解1、2、3、4的更小钢条分割的子问题。比如2+2中反复求解最优子结构2米钢条最优解,1+1+1+1中反复求解1米钢条的最优解(虽然只有一个)。动态规划中通常应用记忆化方法,第一次计算将这些需要反复求解的子问题存到一个表中,再次需要计算时查表就可以得到值。
如果是7米呢?
如果我们将它分为3+4我们就找3米和4米的最优解,而4米钢条分割问题已经在上面求解为2+2所以最后的最优解为2+2+3。其中2米3米4米的最优解都是前面求解的子问题即重叠子问题。(另一个解1+6思想一样)
概念和实例都看过,我们就来看动态规划问题的解决方法,动态规划的解决问题核心就是状态转移方程。不管带备忘的自顶向下法还是自底向上法都是基于状态转移方程,无非求解问题的方式不同而已,核心的状态转移方程都没有变化。
还是看上面实例,对于n米钢条切割最高价格问题,n米钢条首先切割为2段,m和n-m,价格p,最优价格为r:
r=max(r(m))+max(r(n-m));
对于m和n-m长的钢条切割子问题满足最优子结构和重叠子问题性质,上面式子即为状态转移方程。进一步看算法导论中给出了这个问题的简化版本简化问题,将钢条从左边切割下长度为m的一段,只对右边n-m继续切割,对左边不再继续切割。所以状态转移方程成为
r=max(p(m)+r(n-m))
得到状态转移方程就得到了最核心的状态变化,代码附在最后。
总结
动态规划的核心是状态的定义和状态转移,其中最优子结构和重叠子是用来分析问题的,解决问题还是通过状态转移方程,而对于递归、记忆性和重叠子问题都是简化问题的技巧。
动态规划与分治:适合分治方法求解的问题通常在递归的每一步都产生全新的子问题[3],动态规划则是反复求解想通的子问题。
动态规划与贪心:在一个课程上听过一个老师讲过如图1的理解。贪心算法每一步都获得当前的最优解,当前问题的子问题都是最优解不需要重复求解子问题,形式为单链式的。动态规划当前问题的最优解需要组合子问题,需要反复求解子问题,是相互影响的。
代码(以7米分割为例):
#include<iostream> using namespace std; void main() { int cut(int p[], int n,int r[]); int p[8] = { 0,1,5,8,9,10,17,17 };//钢条价格表从0米到7米 int r[8]; for (int i = 0; i < sizeof(r) / sizeof(int);i++) r[i] = -1; cout << cut(p, 7, r) << endl; } int cut(int p[], int n, int r[]) { int maxp = 0; int max(int x, int y); if (n == 0) return 0; if (r >0) return r ; else //求未知的r { for (int i = 1; i <= n; i++) { maxp = max(maxp, p[i] + cut(p, n - i, r)); } } r = maxp; return r ; } int max(int x, int y) { return x >= y ? x : y; }
[1]维基百科https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92
[2]算法导论(第三版).204
[3]算法导论(第三版).219
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