算法探究：线性时间选择问题

一.什么是线性时间选择问题

前几天，女票问到了快速排序，然后我看了一下代码，发现不对呀，为什么连基本的递归都没有，后来仔细看了整个程序之后，发现，这个程序并不是普通的快速排序，而这也就引出了今天要讲的问题，线性时间选择问题，其实它也就是随机化的快速排序，以求加快效率，最快求解。

二.大体思路

RandomizedSelect算法，因为该算法是想要求解在一个序列中某一个等级大小的数，那么这个算法的大体思路其实就是随机选取基准元素，根据基准元素进行分区，小的分在左边，大的分在右边，每次分完之后返回基准元素所在数组中的索引，同时比较等级，小的话在左边查找，大的话在右边查找，那么这样说的话大家是不是又想到了快速排序算法，是不是特别熟悉呢。

三.具体实现

谈及具体实现的话，我还是先把代码贴上来然后一点一点地分析。

int RandomizedSelect(int a[],int low,int high,int k)
{
if(low==high)
return a[low];
int i=RandomizedPartition(a,low,high);
int j=i-low+1;
if(k<=j)
return RandomizedSelect(a,low,i,k);
else
return RandomizedSelect(a,i+1,high,k-j);
}

这就是其中最核心的部分。

03,04：和快排类似，倘若low==high，那么说明基准点已经到了我们需要的等级的位置，直接返回当前值。

05：假如不相等，那么就得重新分区。

06--10：重新分区之后，就得根据基准元素返回的索引考虑接下来往哪边寻找。

接下来是随机选取基准元素的函数

int RandomizedPartition(int a[],int low,int high)
{
Random rm = new Random();
int i = rm.Next(low,high);
Swap(a[i],a[low]);
return Partition(a,low,high);
}

前两句就是在新的分区里面寻找新的随机基准点，在这里我们把随机选取的基准点和第一个元素交换，因为后面分区的时候一直以第一个元素为基准，后两句就是重新分区。

最后就是分区函数，其实这里就用到了快排

int Partition(int a[],int low,int high)
{
int i=low,j=high+1;
int x=a[low];
while(true)
{
while(a[++i]<x&&i<high);
while(a[--j]>x);
if(i>=j) break;
Swap(a[i],a[j]);
}
a[low]=a[j];
a[j]=x;
return j;
}

相信这里就不用过多解释了，很容易理解。

最后附上整个实例。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<time.h>
using namespace std;

void Swap(int &a,int &b)
{
int tmp=a;
a=b;
b=tmp;
}

int Partition(int a[],int low,int high) { int i=low,j=high+1; int x=a[low]; while(true) { while(a[++i]<x&&i<high); while(a[--j]>x); if(i>=j) break; Swap(a[i],a[j]); } a[low]=a[j]; a[j]=x; return j; }

int RandomizedPartition(int a[],int low,int high) { Random rm = new Random(); int i = rm.Next(low,high); Swap(a[i],a[low]); return Partition(a,low,high); }

int RandomizedSelect(int a[],int low,int high,int k) { if(low==high) return a[low]; int i=RandomizedPartition(a,low,high); int j=i-low+1; if(k<=j) return RandomizedSelect(a,low,i,k); else return RandomizedSelect(a,i+1,high,k-j); }

/* 测试 */
int main()
{
int a[]={4,7,9,5,8,3,0,1};
int k=2;
int result=RandomizedSelect(a,0,7,k);
cout<<"第"<<k<<"小的元素是"<<result<<endl;
return 0;
}

四.总结

首先要强调的是，RandomizeSelect算法，最好能够达到O（n）的时间复杂度，这时很不错的，另外最坏也是O（n*n），而不是像一些普通算法，平均复杂度是O（n*n），其次呢，该算法跟数据的准备还是有比较大的关系的，这个我们之后再另外写一篇好好叙述。总的说来呢，我主要是看到之后耳目一新，自己实现了一下，其实我完全是算法方面的小白，如果有错误还希望指正。

  email： wuzhicheng@bjfu.edu.cn  

  谢谢！