动态规划——寻找子矩阵最大和

最大和
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难度：5
描述
给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。
例子：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其最大子矩阵为：
9 2
-4 1
-1 8
其元素总和为15。
输入
第一行输入一个整数n（0<n<=100）,表示有n组测试数据；
每组测试数据：
第一行有两个的整数r，c（0<r,c<=100），r、c分别代表矩阵的行和列；
随后有r行，每行有c个整数；
输出
输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。
样例输入
1
4 4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
样例输出
15

这道题初看有点复杂，是因为矩阵是二维形式。
回想一下，曾经对一维数组做过找出连续非空字串，使得该子序列之和最大。这里本质上也是要做同样的事情，只不过这里要找的是子矩阵。
有两个问题需要考虑。

第一，如何更简单地计算出一个子矩阵的和？

先考虑一维数列。我们存储的时候就不再单独存储每个位置的值是多少，而是存储从起始到该位置，所有元素之和是多少。所以，在数据录入的时候，就应该是

num[i]+=num[i-1]

,这样，要计算从j到i的数据之和，直接

num[i]-num[j-1]

就能直接得出了。推广到二维的情况，实际上可以把每一列都当做一维数组，然后做同样处理。要求子矩阵之和时，可以把每一列都计算一次

num[i]-num[j-1]

，再累加起来就行了。

第二，如何遍历出所有可能的子矩阵？

这里可以使用三个变量i,j,k来遍历。如果一个矩阵大小是M*N的，那么可以使i从0到M，再使j从每一个i到M，这样就把行方向给遍历完了。再考虑列方向，直接在每一种i,j组合下，进行0到N的遍历，那么这样就等于是把所有子矩阵的情形给遍历完了。

代码如下:

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int num[101][101];

int main(void)
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
int r,c;
scanf("%d%d",&r,&c);
int i,j,k;
memset(num,0,sizeof(num));
for(i=1;i<=r;i++)
for(j=1;j<=c;j++)
{
scanf("%d",&num[i][j]);
num[i][j]+=num[i-1][j];
}
int temp=0;
int max=num[1][1];
int tempmax;
for(i=1;i<=r;i++)
{
for(j=i;j<=r;j++)
{
tempmax=0;
for(k=1;k<=c;k++)
{
temp=num[j][k]-num[i-1][k];
tempmax=(tempmax>=0?tempmax:0)+temp;
max=tempmax>max?tempmax:max;
}
}
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}

查看原文：http://www.wyblog.cn/2016/10/14/%e5%8a%a8%e6%80%81%e8%a7%84%e5%88%92-%e5%af%bb%e6%89%be%e5%ad%90%e7%9f%a9%e9%98%b5%e6%9c%80%e5%a4%a7%e5%92%8c/