【题】【数学(卡特兰数)】NKOJ3798 有趣的数列

NKOJ3798 有趣的数列

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问题描述

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{Ai}；

(2)所有的奇数项满足A1< A3< …< A2n-1，所有的偶数项满足A2< A4< …< A2n；

(3)任意相邻的两项A2i-1与A2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：A2i-1< A2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

输入格式

用空格隔开的两个整数n和P。

50%的数据满足n≤1000

100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

输出格式

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

样例输入

3 10

样例输出

5

提示

样例说明：

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

来源 hnoi2009

思路：

h(n)即为该题的答案

使用公式c[2n]
/(n+1)+组合数取模

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int need=2000006;

int n,p;

int pr[need],tot,cnt[need],s[need];
bool mark[need];

void get_prime(int n)
{
for(int i=2,j,temp;i<=n;i++)
{
if(!mark[i])
{
pr[++tot]=i;
s[i]=tot;
}
for(j=1;j<=tot&&(temp=pr[j]*i)<=n;j++)
{
mark[temp]=true;
s[temp]=j;
if(i%pr[j]==0) break;
}
}
}

void add(int x,int val)
{
while(x!=1)
{
cnt[s[x]]+=val;
x/=pr[s[x]];
}
}

int ktl(int n)
{
get_prime(n<<1);
for(int i=2*n;i>n;i--) add(i,1);
for(int i=1;i<=n;i++) add(i,-1);
add(n+1,-1);
int ans=1;
for(int i=1;i<=tot;i++)
while(cnt[i]--)
ans=((long long)ans*pr[i])%p;
return ans;
}

int main()
{
scanf("%d%d",&n,&p);
cout<<ktl(n);
}