Xn数列（矩阵乘法+快速幂+慢速乘法）

Xn数列

题目描述：

给你6个数，m, a, c, x0, n, g

Xn+1 = ( aXn + c ) mod m，求Xn

m, a, c, x0, n, g<=10^18

输入描述：

一行六个数 m, a, c, x0, n, g

输出描述：

输出一个数 Xn mod g

样例输入：

11 8 7 1 5 3

样例输出：

2

数据范围及提示：

int64按位相乘可以不要用高精度。

思路：

暴力循环求解？NO~NO~NO~

如此大的数据，想到矩阵乘法，利用矩阵加速。

这道题的难度在于如何推出矩阵。

首先根据矩阵性质以及运算规则容易看出这是2*2的矩阵

让X0位于a[1][1]的位置。那么运算之后X1肯定也要位于a[1][1]的位置

因为X1=a*X0+c，所以a[1][2]的位置是c，a[2][1]和a[2][2]对于答案没有影响，所以设为0就可以了，至此，初始矩阵设置完毕。

那么初始矩阵乘以哪一个矩阵才能得到答案呢？重新定义一个矩阵b，容易看出，当b[1][1]=a,b[1][2]=0,b[2][1]=1,b[2][2]=1时，矩阵a*矩阵b才能得到我们想要的答案。



可以看出：

a*b可以得出X1,同样的X1*b得出X2,，即：X2=a*b*b，所以Xn=a*b^n。

因为数据太大，所以使用快速幂加速，long long会乘爆，所以使用慢速乘法。

#include<iostream>
#define lon long long
using namespace std;
lon m,a,c,x0,n,g,s[3][3],ans[3][3];
lon slow_mul(lon x,lon y,lon mod)//慢速乘法
{
lon ans=0;
while(y)
{
if(y&1)
{
y--;
ans=(ans+x)%mod;
}
y>>=1;
x=(x+x)%mod;
}
return ans;
}
void mul(lon p[3][3],lon q[3][3])//快速幂
{
lon tmp[3][3]={0};
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int k=1;k<=2;k++)
tmp[i][j]=(tmp[i][j]+slow_mul(p[i][k],q[k][j],m))%m;
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
p[i][j]=tmp[i][j];
}
void quick_power(lon n)
{
lon tmp[3][3];
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
tmp[i][j]=s[i][j];
while(n)
{
if(n&1)
mul(tmp,s);//因为初始值tmp为s，所以为n-1次幂 ，而不是n次幂。。。。
mul(s,s);
n>>=1;
}
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
s[i][j]=tmp[i][j];
}
int main()
{
cin>>m>>a>>c>>x0>>n>>g;
ans[1][1]=x0,ans[1][2]=c,ans[2][1]=0,ans[2][2]=0;
s[1][1]=a,s[1][2]=0,s[2][1]=1,s[2][2]=1;
quick_power(n-1);//为什么是n-1次幂？
lon tmp[3][3]={0};
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int k=1;k<=2;k++)
tmp[i][j]=(tmp[i][j]+slow_mul(ans[i][k],s[k][j],m))%m;
cout<<tmp[1][1]%g;//输出答案
return 0;
}