动态规划中的经典问题

01背包：有N个重量和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

第一步：合理抽象问题

定义状态：以dp(i, x)表示已经决定了前i件物品是否选取，当前已经选取的物品的重量总和不超过x时，能够获取的最高的价值的和。dp(n, W)即为所求。

我们先考虑dp(N, M)这个问题的最后一个决策——第N件物品是否进行选择：

选择第N件物品且保证第N件物品的重量不超过M。则dp(N - 1, M - need(N)) + value(N)。”

不选择第N件物品，则dp(N - 1, M)。

由于第N件奖品只有选取和不选取两种可能，我们于是可以知道：

dp(N, M) = max{dp(N - 1, M - w(N)) + v(N), dp(N - 1, M)}

同理

定义状态转移方程：对于任意i>1, j, dp(i, j)=max{dp(i-1, j-w(i)) + v(i), dp(i - 1, j)}

通过不断重复利用一个数组来优化空间：

完全背包：

与01背包的区别是，每件物品可以取多次。

将01背包定义的状态稍稍改变：

可得：

因为best(i, x)的大部分计算都在best(i, x - need(i))中已经计算过了

所以可以优化成这样：

for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= m; j++)
if (need[i] > j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-need[i]] + value[i]);</pre>
同样，用一维数组优化空间：
for(i=0; i<m; i++)
for(int v=w[i]; v<=n; v++)
dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+v[i]);