一个与小球碰撞有关的有趣问题

-一个与小球碰撞有关的问题

-本人学号：16340300

-本人学院：数据科学与计算机学院

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看看这个问题

如何解决

解法

看看这个问题

如图，在光滑水平面上，有一个球A向墙运动，速度垂直于墙面，A和墙之间的连线上停着另一个小球B。假设球与球，球与墙之间的碰撞均为完全弹性的，当A的质量是B的10^2n倍时，球与球、球与墙之间一共发生了多少次碰撞？这个图画的并不好，两个球大小完全一致可以看成质点。

如何解决？

实际上，经过试验可以得出：

两球质量相等时，共发生3次碰撞。

当A的质量是B的10000倍时，共碰撞314次。

当A的质量是B的1000000倍时，共碰撞3141次。

当A的质量是B的1亿倍时，共碰撞31415次。

显然碰撞次数和圆周率有关，那么该如何解释这个关系呢？

解法

这里提供一种通俗易懂的解法，还有许多解法读者可以自己去考虑。

设大小球的质量比为N,Vi 为大球速度，vi 为小球速度,由能量守恒:1/2NV2i+1/2v2i=1/2NV2i−1+1/2v2i

可以得到V2i+(vi/N−−√)2是定值，也就是(Vi,vi/N−−√)在一个圆上。



设其为单位圆，记为(Vi,vi/N−−√)=(cosa,sinb),由动量守恒有:N−−√cosa+sina=N−−√cosb−sinb化简得:N−−√=cot((a−b)/2)对于任意的i，碰撞前后a和b的差是定值（由质量比N决定）。所以把(Vi,vi/N−−√)在圆上依次画出来之后，这个点每次移动的角度是固定的。

起始的点是（1,0），终止的情况是这个点第一次跨入第三象限的刹那（当小球在某次碰撞后仍然向右走，那么过程停止）（确切的说，是跨过射线(−1,1N√) 之后终止，在极限情况下趋近于x轴负半轴），转过的角度是固定的，因此必然会跟π 相关。

在N→∞ 时，Δθ=2arctan1N√∼2N√

球之间碰撞的次数n≈π2/N−−√

总碰撞次数m=2n−1≈πN−−√ 由此可以解出答案。

参考链接

https://link.zhihu.com/?target=http%3A//math.stackexchange.com/questions/138289/intuitive-reasoning-behind-pis-appearance-in-bouncing-balls()