Codeforces 233B Non-square Equation (数学) -- 解题报告

题面

题意

给定一个方程，求出 x 的最小正整数解，如果不存在，则输出 -1 。

解题思路

注意到题目中的 n 的最大值是 1018 ，由公式可以估算出 x 的最大值是 109 ，直接暴力显然会超时。观察题目给出的方程：

x2+s(x)⋅x−n=0

注意 s(x) 函数，可以发现 s(x) 在 x 取得最大值，即 x = 999999999 时相应地取得最大值，即 81。于是，我们可以去枚举 s(x) ，计算相应的 x 能否使方程左右两边相等，这样就能大大降低复杂度。我们将原方程化为左边是 x 的方程：

x2+s(x)⋅x−n+s(x)24=s(x)24(1)

(x+s(x)2)2=s(x)24+n(2)

x+s(x)2=s(x)24+n‾‾‾‾‾‾‾‾√(3)

x=s(x)24+n‾‾‾‾‾‾‾‾√−s(x)2(4)

这样，我们只需要从 1 到 81 枚举所有 s(x)，计算出相应的 x，代入方程比较是否相等即可。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

// s(x) 函数
int s(long long x) {
int sum = 0;
while(x) {
sum += x%10;
x /= 10;
}

return sum;
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
long long n, ans = -1;
scanf("%lld", &n);
for(int i=1; i<=81; ++i) {
long long x = sqrt(i*i/4+n) - i/2;
int sx = s(x);
if(x*x+sx*x-n == 0) {
ans = x;
break;
}
}
printf("%lld\n", ans);

return 0;
}