有向无权图最短路径问题——BFS求解

解释

图1

如图1所示，这是一个有向无权图，如果选中某个定点作为起始顶点s，我们要找出s到其他所有顶点的最短路径问题。由于是无权的，所以我们只关心最短路径所包含的边数。这就是一个有向无权图求最短路径的问题，用到BFS算法，广义优先搜索算法。

流程解析

设s为选中的v3。



从s出发路径长为1的顶点之后的图

此时可以看到从s出发到v3的最短路径长为0的路径，只有v3自己。把这个标记下来。然后寻找所有从s出发路径长为1的顶点，这些顶点可以通过考察s邻接的顶点找到。



找出所有从s出发路径长为1的顶点之后的图

现在寻找从s出发，最短路径为2 的顶点，找出所有邻接到v1和v6的顶点（距离为1处的顶点）。它们的最短路径还不知道，这次搜索告诉我们，到v2和v4的最短路径长为2。下图显示了到目前为止所做的工作。



找出所有从s出发路径长为2的顶点之后的图

最后通过考察那些邻接到刚被赋值的v2和v4的顶点可以发现，v5和v7各有一条三边的最短路径。现在所有顶点都已经计算。下图显示最终的算法结果。



上述搜索方法称为广度优先搜索(breadth first search）。该方法是按层处理顶点：距开始点最近的那些顶点首先被求值，而最远的那些顶点最后被求值。这很像对数的层序遍历(level order traversal）。

下图是用于求无权最短路径计算的表的初始配置



对于每个顶点，我们需要跟踪三个信息。known表示该顶点是否被处理，即求取到s的最短路径；距离d为所求取的路径长，开始被赋值无穷大，pv表示路径，通过追溯pv可以显示实际的路径长。

算法的伪代码如下

void Graph::unweighted(Vextex s)
{
for each Vertex v
{
v.dist=INFINITY;
v.known=false;
}
s.dist=0;
for(int currDist=0;currDist<NUM_VERTICES;currDist++)
for each Vertex v
if(!v.known&&v.dist==currDist)
{
v.known=true;
for each Vertex w adjacent to v
if(w.dist==INFINITY)
{
w.dist=currDist+1;
w.path=v;
}
}
}

上述代码运算复杂度是O(V^2)

下面给出使用O(V+E）复杂度的算法，类似于拓扑排序，使用连接表可以降低算法的时间复杂度为O(V+E)。

void Graph::unweighted(Vertex s)
{
Queue<Vertex> q;
for each Vertex v
v.dist=INFINITY'
s.dist=0;
q.enqueue(s);

while(!q.isEmpty())
{
Vertex v=q.dequeue();
for each Vertex w adjacent to v
if(w.dist==INFINITY)
{
w.dist=v.dist+1;
w.path=v;
q.enqueue(w);
}
}

}

上述算法的运行情况如下：

实际例子

代码参考：http://blog.csdn.net/linux_ever/article/details/51305596