算法设计与分析——第一篇，写在前面的话

写在前面的话——

做程序员也有几年了，一直以来都是在有需要的时候，上网查查资料，看看别人写的博客来充实自己，有时候也会想写写随笔，学习笔记什么的，可是空空如也的我，一直以来都没有什么可以写的，不过既然决定重新回到学校，开始一段新的历程，那就还是写写吧，正好学校也开了算法设计与分析这门课，每节课后，老师都会要求写一篇当堂课的相关论文报告交上去，我就把我的每篇作业贴上来吧，不过都是参考书上的东西！

第一篇——

第一次作业比较简陋，主要是对一些简单的题目，写出一个基本的代码，加上一些分析

1，  求1000以内的完数

设计思想：完数的定义为该数的所有真因子之和仍等于其本身，由此可以预先排除掉数字1，而后需要求出所有大于1的数的所有真因子并且求和，当和为其本身的时候，该数为完数。

#include <stdio.h>

int main()
{
intn = 1000;
inti;
for(i= 2; i <= n; i++) {
intj;
intsum = 0;
for(j= 1; j < i; j++) {
if(0== i % j) {//求出所有的真因子
sum+= j;//求出真因子后进行求和
}
}
if(sum== i) {//若所有真因子之和和该数相等，则该数为完数
printf("%d为完数\n",i);
}
}

return 0;
}

2，  求一个输入的正整数的分化数目

设计思想：根据整数划分的思想，设函数Q(n,m)表示整数n的划分中最大加数为m的数目，可以得知：

（1）Q(n,1) =Q(1,m) = 1，因为无论是1的分划还是对于被加数最大为1，其都只有一种分划，即为n个1相加

（2）当n<m时，Q(n,m)=Q(n,n)，因为被加数m显然不会超过n

（3）Q(n,m) =Q(n,m-1) + Q(n-m,m)，Q(n,m-1)表示Q(n,m)中不包含m的划分，而Q(n,m)中包含m的划分可以通过对n-m进行不超过m的划分数目来取得

（4）当n=m时可以作为(3)的特殊情况，即Q(n,n)= Q(n,n-1) + 1

根据以上结论可以通过递归法求出结果

 

#include <stdio.h>

int Division(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1) {
return 0;
} else if (n == 1 || m == 1) {//Q(n,1) = Q(1,m) = 1
return 1;
} else if ( n < m) {
return Division(n , n);
} else if ( n == m) {
return Division(n , n - 1) + 1;//Q(n,n) = Q(n,n-1)+ 1
} else {
returnDivision(n , m - 1) + Division(n - m , m);//Q(n,m) = Q(n,m-1) + Q(n-m,m)
}
}

int main()
{
int n;
printf("输入需要分化的整数：");
scanf("%d",&n);

int num = Division(n, n);
if(0 == num) {
printf("输入错误!\n");
} else {
printf("%d的分划数目为%d\n",n ,num);
}

return 0;
}

关于上面特别标了颜色的那条，也就是这个Q(n,m) =Q(n,m-1) + Q(n-m,m)，当时百思不得其解，后来想通了，就是这个意思，可以理解为，Q(n,m)这个数字是由两部分组成，Q(n,m-1)代表Q(n,m)中不包含m的部分，那么剩下的就是仅包含m的部分，根据各种百度的说法，所谓求Q(n,m) 中仅包含m的部分，就是求Q(n-m,m)，这个以我的能力非常不好解释，只能说看你能不能想到，简单来说，我就是找一个实例，分析，比如Q(6,4)，那么4开头的项，是4+2和4+1+1，你可以想到，其实这个数目就是数字2的分划的数目，在看所谓Q(n,m)的m开头的项，其实就是m+(n-m)，观察这个项，其实就是左边是m，右边就是n-m的分划，左边都是一样的，而右边的数目就是n-m分划的数目，所以整个是数目就是n-m的分划的数目，这个应该可以理解了吧，但是这个应该只是一种情况，就是Q(n,m)的m项的数目=Q(n-m,n-m)，但是我们可以看到，实际上应该是等于Q(n-m,m)，那么这个里面还有什么差别呢，呃，我没有研究，所以上面只是启发了一下大概的思考方向，如果要具体弄清楚，要么就是用数学的方法，要么就是找一些实例来验证，找到规律，我就不多说了！

 

 

3，分别使用递归和循环来实现输入一个任意十进制正整数，从低位到高位输出各位上的数字，再实现从高位到低位输出各位上的数字

设计思想：讲一个十进制正整数分拆开得到每一位的数字，首先可以通过对10取余得到个位的数字，然后通过除以10，去掉最后一位，再重复上一步，最终可以得到每一位的数字，但是如果使用循环法，因为不知道确切位数，直接求出最高位再依次得到低位比较麻烦，可以通过从低往高求出各位的数字再通过循环逆向输出，所以使用循环法会用到两次循环，但是如果使用递归法，可以通过调整递归调用和输出函数的位置来实现正向或逆向输出。

 

 

使用循环（从低位到高位）：

#include <stdio.h>

int main()
{
intn,index = 1;
printf("输入一个十进制正整数：");
scanf("%d",&n);
if(n< 0) {
printf("输入错误！\n");
return0;
}

while(n> 10) {
printf("第%d位数字是%d\n",index ,n%10);//通过对10取余取出该位的数字
n= n/10;//由于是整型，通过除以10达到降低位数的目的
index++;
}
printf("第%d位数字是%d\n",index ,n%10);

return 0;
}

从高位到低位：

 

#include <stdio.h>

int main()
{
intn,index = 1,a[100] = {0};
printf("输入一个十进制正整数：");
scanf("%d",&n);
if(n< 0) {
printf("输入错误！\n");
return0;
}

while(n> 10) {
a[index]= n%10;
n= n/10;
index++;
}
a[index]= n%10;

inti;
for(i= index; i > 0; i--) {
printf("第%d位数字是%d\n",i,a[i]);
}

return 0;
}

使用递归从低位到高位：

#include <stdio.h>

void Division(int n)
{
if(n< 10) {
printf("最高位为%d\n",n);
}else {
printf("%d\n",n%10);
Division(n/10);
}
}

int main()
{
intn,index = 1,a[100] = {0};
printf("输入一个十进制正整数：");
scanf("%d",&n);
if(n< 0) {
printf("输入错误！\n");
return0;
}

Division(n);

return 0;
}

从高位到低位：

#include <stdio.h>

void Division(int n)
{
if(n< 10) {
printf("最高位为%d\n",n);
}else {s
Division(n/10);//先递归，待逐级返回之后再打印输出，从而实现从高位到低位
printf("%d\n",n%10);
}
}

int main()
{
intn,index = 1,a[100] = {0};
printf("输入一个十进制正整数：");
scanf("%d",&n);
if(n< 0) {
printf("输入错误！\n");
return0;
}

Division(n);

return 0;
}

上面这个题，其实很简单，其实想想，就是循环与递归的对比，从低位到高位输出的时候，没什么太大的区别，但是高位到低位顺序输出的时候，循环方法明显会麻烦一点，所以也体现了一个题选择合适的算法会提高效率避免无意义的循环！