动态规划入门之硬币问题

摘要: 动态规划入门之硬币问题

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。 当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度， 因此它比回溯法、暴力法等要快许多。动态规划也是面试笔试题中的一个考查重点，当阅读一个题目并且开始尝试解决它时，首先看一下它的限制。 如果要求在多项式时间内解决，那么该问题就很可能要用DP来解。遇到这种情况， 最重要的就是找到问题的“状态”和“状态转移方程”。(状态不是随便定义的， 一般定义完状态，你要找到当前状态是如何从前面的状态得到的， 即找到状态转移方程)如果看起来是个DP问题，但你却无法定义出状态， 那么试着将问题规约到一个已知的DP问题。

这里先说明一个最简单的动态规划实例：硬币问题。后续还会给出更多的实例，例如：最长公共子序列，最长公共子串，最长递增子序列，字符串编辑距离等。动态规划的关键就是找出“状态”和“状态转移方程”。

硬币问题：给你一些面额的硬币，然后给你一个值N，要你求出构成N所需要的最少硬币的数量和方案。分析：这个问题可以尝试用贪心算法去解决，先从面额最大的硬币开始尝试，一直往下找，知道硬币总和为N。但是贪心算法不能保证能够找出解（例如，给,2,3,5,然后N=11）。我们可以换个思路，我们用d(i)表示求总和为i的最少硬币数量（其实就是动态规划中的“状态”）,那么怎么从前面的状态（并不一定是d(i-1)这一个状态）到d(i)这个状态？假设硬币集合为coins[0~N]，在求d(i)之前，我们假设d(1~i-1)全部都求出来了，那么d(i)=min{d(j)+1},if i-j 在coins中（其实这就是“状态转移方程”）。举例说明：coins={2,3,5}，N=11。

d(0)=0;

d(1)=0;

d(2)=d(0)+1=1;

d(3)=d(0)+1=1;

d(4)=d(2)+1=2;

d(5)=min{d(3)+1,d(2)+1,d(0)+1}=1;

d(6)=min{d(4)+1,d(3)+1}=2;

.......................

同时为了求出最后的方案（不仅仅是硬币个数），需要记录求每个状态选择的“路径”，例如:求d(5)我们选择了d(0)+1，那么我们选择的路径就是5-0=5。我们必须记录这些路径，然后根据路径得出结果。对于d(6)，我们开始选择了3,也就是说我们选择了从d(3)状态和硬币3跳转到d(6),接着对于d(3)，我们选择了3，也就是说我们选择了从d(0)状态和硬币3跳转到了d(3)，接着对于d(0)，这个是初始状态。所以我们的方案是3,3。

如果上面说得还不够清晰，可以参照下面JAVA实现的代码

/**
*
* @author kerry
* 给定制定面值的硬币 ，并给出一个值，要求求出硬币综合为这个值需要的最少的硬币的个数，并具体的方案
*/
public class MinCoins {

/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] coins={1,3,5};
int value=100;
int[] solu=new int[value];
int min=new MinCoins().solution(coins,value,solu);
for(int i=value-1;i>=0;){
System.out.print(solu[i]+"->");
i=i-solu[i];
}
System.out.println();
System.out.println(min);

}
private int solution(int[] coins,int value, int[] solu){
int[] mins = new int[value+1];
mins[0]=0;
for(int i=1;i<=value;i++) mins[i]=Integer.MAX_VALUE;
for(int i=1;i<=value;i++){
for(int j=0;j<coins.length;j++){
if(coins[j]<=i&&mins[i]>mins[i-coins[j]]+1){
mins[i]=mins[i-coins[j]]+1;
solu[i-1]=coins[j];
}
}
}
return mins[value];
}

}