动态规划：如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？

<p>首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？为什么要这么问呢？两个原因：1.当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的，本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。</p><p>好了，让我们从最小的i开始吧。当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需要0个硬币。(这个分析很傻是不是？别着急，这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。)这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。”会比较方便，如果一直用纯文字来表述，不出一会儿你就会觉得很绕了。那么，我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0，表示凑够0元最小需要0个硬币。当i=1时，只有面值为1元的硬币可用，因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道答案的，即d(0)=0。所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。当i=2时，仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的硬币，接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量)，而这个答案也已经知道了。所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到这里，你都可能会觉得，好无聊，感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币！耐心点，让我们看看i=3时的情况。当i=3时，我们能用的硬币就有两种了：1元的和3元的(5元的仍然没用，因为你需要凑的数目是3元！5元太多了亲)。既然能用的硬币有两种，我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币，我的目标就变为了：凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。这个方案说的是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一个3元的硬币，我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1.这个方案说的是，我拿1个3元的硬币。好了，这两种方案哪种更优呢？记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以，选择d(3)=1，怎么来的呢？具体是这样得到的：d(3)=min{d(3-1)+1,
d(3-3)+1}。</p><p>OK，码了这么多字讲具体的东西，让我们来点抽象的。从以上的文字中，我们要抽出动态规划里非常重要的两个概念：状态和状态转移方程。</p><p>上文中d(i)表示凑够i元需要的最少硬币数量，我们将它定义为该问题的”状态”，这个状态是怎么找出来的呢？我在另一篇文章<a target=_blank href="http://www.hawstein.com/posts/dp-knapsack.html">动态规划之背包问题(一)</a>中写过：根据子问题定义状态。你找到子问题，状态也就浮出水面了。最终我们要求解的问题，可以用这个状态来表示：d(11)，即凑够11元最少需要多少个硬币。那状态转移方程是什么呢？既然我们用d(i)表示状态，那么状态转移方程自然包含d(i)，上文中包含状态d(i)的方程是：d(3)=min{d(3-1)+1,
d(3-3)+1}。没错，它就是状态转移方程，描述状态之间是如何转移的。当然，我们要对它抽象一下，</p><p>d(i)=min{ d(i-v_j)+1 }，其中i-v_j >=0，v_j表示第j个硬币的面值;</p>

#include <iostream>

using namespace std;

int coin[3] = { 5, 3, 1 };

int func(int num)
{
int *d = new int[num + 1];
d[0] = 0;

for (int i = 1; i <= num; ++i)
{
d[i] = i;
for (int j = 0; j < 3; ++j)
{
if (coin[j] <= i && d[i - coin[j]] + 1 < d[i])
{
d[i] = d[i - coin[j]] + 1;
}
}
}

return d[num];
}

int main()
{
int n;
while (cin >> n)
cout << func(n) << endl;
return 0;
}

递归：

#include <iostream>

using namespace std;

int coin[3] = { 5, 3, 1 };

int func(int num)
{
if (num == 0)
return 0;

for (int i = 0; i < 3; ++i)
{
if (num == coin[i])
{
cout << coin[i] << ' ';
return 1;
}
}

for (int i = 0; i < 3; ++i)
{
if (num - coin[i] >= 0)
{
cout << coin[i] << ' ';
return func(num - coin[i]) + 1;
}
}

}

int main()
{
int n;
while (cin >> n)
cout << endl << func(n) << endl;
return 0;
}