数字逻辑的一些基本运算和概念
2016-09-09 16:46
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进制转换
基数：计数制中所用到的数字符号的个数，比如基数为R的计数制中，含0，1···R-1共R个数字符号，进位规律是“逢R进1”，称为R进制。
位权：在一种进位计数制表示的数中，用来表明不同数位上数值大小的一个固定的常数。不同数位有不同的位权。
比如2进制：10001，第一个1位上的位权为 2^4，第二个1位上的位权为 2^0。
并列表示法：比如 1001001.
多项式表示法：按权展开：1 x 2^6 + 1 x 2^3 + 1 x 2^0.
二转十
10110.101 = 1x2^4 + 1x2^2 + 1x2^1 + 1x2^-1 + 1x2^-3 = 16 + 4 + 2 + 0.5 + 0.125.
十转二
整数转换，除基数取余法：
45 ÷ 2 = 22 ··· 1 22 ÷ 2 = 11 ··· 0 11 ÷ 2 = 5 ··· 1 5 ÷ 2 = 2 ··· 1 2 ÷ 2 = 1 ··· 0 1 ÷ 2 = 0 ··· 1 得到45的二进制 1 0 1 1 0 1，注意，按照从下往上的顺序。
小数转换，乘二取整法：
0.6875 x 2 ------ 1.3750 ··· 1 x 2 ------ 0.7500 ··· 0 x 2 ------ 1.5000 ··· 1 x 2 ------ 1.0000 ··· 1 0.6875的二进制 0.1011，注意，按照从上向下的顺序。
有些时候，无法用有限位二进制表示十进制的小数，就要根据题目的精度要求，将最低位进一然后舍去。
此外，当一个十进制既有整数也有小数，只要把它们分开计算就好了。
八进制，和十六进制，类比即可。需要注意的是：
八转二的时候，每一位八进制数 用三位二进制表示即可，比如 732 -> 111 011 010；十六转二用4位二进制数即可。
二转八的时候，不足补0，比如 二进制 1001 需要看做 001 001 再转成 11。
二转十六的时候，数字十到十五需要用 A - E 表示。
原码，补码，反码
计算机涉及数字的符号问题的时候，需要补充一位符号位，一般在二进制数的最左边，以1为负，以0为正。
原码：
小数：
大于0的小数X，原码为其本身；小于0的小数X，原码为 1-X(相当于在小数点前面补1)。比如：0.1011 -> 0.1011；-0.1011 -> 1.1011
整数：
大于0为它本身，或者在最高位前面补0；小于0在最高位的前面补1。比如：1101 -> 01101；-1101 -> 11101。
反码：
正数的反码为它本身；负数的反码：符号位不变，其他位按位取反。比如：0101111 -> 0101111；1101111 -> 1010000.
整数的方法和小数的方法一样，只不过小数多加了一步，将符号变成小数点前面的1.
补码：
正数与原码，补码一样；负数为取反码之后在最低位+1，有进位则进位；小数和整数一样。
补码反码的计算：
反码的计算
无论进行加还是减的运算，均可以通过加法实现。运算的时候，符号位一起参与计算。
当符号位发生进位的时候，需要将进位加到运算结果的最低位，才能得到结果。
111 + 111 ----- 1 110 --->1 ----- 111
补码的计算
与反码的计算不一样的地方在于，符号位发生进位的时候，将其丢弃。
111 + 111 ----- 1 110 ->Drop ----- 110
几种常用的BCD编码
目的：为了满足计算机使用二进制，而同时满足人们习惯十进制的需求，通常用四位二进制代码对十进制数字进行编码。称为 二-十进制代码。
又称BCD码，具有二进制的形式，又有十进制的特点。
十进制有 0-9 十个数字，就需要四位二进制来表示，一共 2^4 = 16种表示，就会有多余的六个二进制表示。
不管哪种方案都会有多余的六个表示。
分为有权码 和 无权码，有权码是用数字表示的名字，比如8421码，8421就是它的权值。
8421
权：8421；按照最简单的二进制进位来表示。
0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 ------ 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 多余的无效码：1010 -> 1111
转换样例：
(1)258 -> 0010 0101 1000 注意，十进制的每一位都要用四位二进制表示，并且不能舍去0！
(2)0001 0010 0000 1000 -> 1208 按权转换，相加即可，比如 0010 = 8x0 + 4x0 + 2x1 + 1x0，就是BCD码的名字。
如果在计算的过程中，出现了无效位，需要加6(0110)来得到正确的结果。
2421
权：2421；求法：0-4和8421一致，从5开始(比如取到了k，5<=k<=9)，计算 9-k 的值，得到 9-k 的2421表示(和8421一样)，然后按位取反。
比如 求6的2421码：9 - 6 = 3；3的2421码 和 3的8421码一样 = 0011；按位取反 = 1100.
因此，2421码是 对9的自补代码。
0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 ------ 5 1011 6 1100 7 1101 8 1110 9 1111 多余的无效码：0101 -> 1010
转换样例：
(1)258 -> 0010 1011 1110
(2)0010 0001 1110 1011 -> 2 1 8 5
0010 = 2x0 + 4x0 + 2x1 + 1x0；1110 = 2x1 + 4x1 + 2x1 + 1x0
5421
权：5421；求法：前面五个 0-4 一样，最后五个，最高位取1，其它三位搬下来。
比如 求5：5找0，0的表示为 0000，那么最高位置1，其它三位搬0000的后三位，形成 1000，就是5的5421码了。
0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 ------ 5 1000 6 1001 7 1010 8 1011 9 1100 多余的无效码：0101 -> 0111(3个)；1101 -> 1111(3个)
转换样例：
(1)258 -> 0010 1000 1011
(2)0010 0001 1100 1011 -> 2 1 9 8
0010 = 5x0 + 4x0 + 2x1 + 1x0；1100 = 5x1 + 4x1 + 2x0 + 1x0
无权码：余3码
就是8421码+3。它也是对9的自补代码。
0 0011 1 0100 2 0101 3 0110 4 0111 ------ 5 1000 6 1001 7 1010 8 1011 9 1100 多余的无效码：0000 -> 0010；1101 -> 1111
转换样例：
(1)258 -> 0101 1000 1011
(2)1000 1001 1001 1011 -> 5 6 6 8
1000 = 8x1 + 4x0 + 2x0 + 1x0 - 3 = 5；1001 = 8x1 + 4x0 + 2x0 + 1x1 - 3 = 6
注意，如果计算没有涉及到进位，则需要-3，如果涉及到进位，则要先按照8421码的更改+6 然后再-3，也就是 +3。
2016/9/9
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