【数论】hdu5080 Colorful Toy （polya计数+简单几何）

题目大意：

给N个点，M条边，用C种颜色给点染色，其中图形旋转后相同的染色方案只算一种，求有多少种不同的染色方案。

解题思路：

涉及旋转，采用polya原理来解决问题。

因为给的点都是整数点，图形只有在旋转90‘，180‘，270‘时才可能与原图重合，旋转方案只有四种。

具体可以看代码。

关于polya原理 推荐论文  

符文杰《Pólya原理及其应用》
http://wenku.baidu.com/link?url=VdNuq_v1vSljg1trqJLv-KqXApXxTXydSJVLw-Knq6Q4RLPJArpKTQJnJguA9jc7EPMbwk5jD8jVIJpDxap4KkDEMzXus0auGG6NUKAIbF7
polya原理的模板题：

poj1286
poj2409

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define MAXN 55
#define MOD 1000000007
#define EPS 1e-6
typedef long long ll;

struct node
{
double x,y;
} p[MAXN],tp[MAXN];

int T,n,m,c;
int M[MAXN][MAXN],tM[MAXN][MAXN],sp[MAXN];
int cnt;
double x,y;
ll ans;

ll mod_pow(ll a,ll b,ll p)
{
ll ans=1;
a%=p;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans*a)%p;
a=(a*a)%p;
b>>=1;
}
return ans;
}

void rotate()
{
for(int i=0; i<n; i++)ans=ans*c%MOD; //不旋转 c^n
for(int k=1; k<4; k++) //旋转k*90度
{
int flag=1;
memset(sp,0,sizeof(sp));
memset(tM,0,sizeof(tM));
//坐标转换
if(k==1)for(int i=0; i<n; i++)tp[i].x=-p[i].y,tp[i].y=p[i].x;
else if(k==2)for(int i=0; i<n; i++)tp[i].x=-p[i].x,tp[i].y=-p[i].y;
else if(k==3)for(int i=0; i<n; i++)tp[i].x=p[i].y,tp[i].y=-p[i].x;

for(int i=0; i<n&&flag; i++) //判断旋转后点的坐标与原先点是否能一一对应
{
int temp=0;
for(int j=0; j<n&&!temp; j++)
if(fabs(p[j].x-tp[i].x)<EPS&&fabs(p[j].y-tp[i].y)<EPS)
temp=1,sp[j]=i;//旋转后点的映射
if(!temp)flag=0;
}

for(int i=0; i<n; i++) //求出旋转后点的关系矩阵
for(int j=0; j<n; j++)
if(M[i][j])tM[sp[i]][sp[j]]=1;
for(int i=0; i<n; i++) //判断两个关系矩阵是否相同
for(int j=0; j<n; j++)
if(M[i][j]!=tM[i][j])flag=0;
if(flag)//旋转后重合
{
int res=0;
for(int i=0; i<n; i++) //求循环节（polya）
{
if(sp[i]==-1)continue;
int j=i;
while(sp[j]!=i&&j!=-1)
{
int temp=j;
j=sp[j],sp[temp]=-1;
}
sp[j]=-1;//查询到一个循环节
res++;
}
ll temp=1;
for(int i=0; i<res; i++)temp=temp*c%MOD; //c^res
ans=(ans+temp)%MOD;
cnt++;
}
}
}

void init()
{
for(int i=0; i<n; i++)
{
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
x+=p[i].x,y+=p[i].y;
}
x/=n,y/=n;
for(int i=0; i<n; i++)p[i].x-=x,p[i].y-=y; //将图平移使得中心点是原点

for(int i=1; i<=m; i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
a--,b--;
M[a][b]=M[b][a]=1;
}
}

int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
memset(M,0,sizeof(M));
init();
x=y=0;
cnt=ans=1;
rotate();
ans=ans*mo
4000
d_pow(cnt,MOD-2,MOD)%MOD;//相当于除以n
//pow_MOD(a , b , MOD) 当MOD是素数时且b远大于MOD 那么 pow_MOD(a, b,MOD ) = pow_MOD(a , b%(MOD-1),MOD);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}