数论学习笔记 欧拉函数 （一些性质和运用）内置杜教筛

定义

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。并且用符号φ(n)表示一个整数的欧拉函数。例如φ(8)=4。特殊的φ(1)=1。

一些欧拉函数的性质

性质一

对于一个质数n，φ(n)=n−1。

证明：

因为n是质数。

性质二

若n=pk，则φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1。

证明：

因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

性质三

当gcd(n,m)=1时，φ(nm)=φ(n)∗φ(m)

证明：

φ(n)是积性函数。

性质四

设n=pk11∗pk22...∗pkmm，则φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗...(1−1pm)

证明：

根据性质二

φ(n)=∏(pi−1)pki−1i(pi|n)=n∏(1−1p1)(直接把n提出来)

当然也可以用容斥的想法去理解。

性质五

欧拉定理：对于互质的整数a,m有aφ(m)≡1(modm)。

证明：

这小于n且与n互质的集合时Z，显然|Z|=φ(n)，Z={p1,p2...pφ(n)}。

令集合S={a∗p1modn,a∗p2modn...a∗pφ(n)modn}。

因为：

1. 因为a与n互质，pi与n互质，所以a∗pi与n互质，所以a∗p1modn∈Z

2. 若i≠j，那么a∗pimodn≠a∗pjmodn

反证：

假如a∗pimodn=a∗pjmodn ，设a∗pi=ki∗n+b

那么

a∗pi=ki∗n+b=a∗pj=kj∗n+ba∗(pi−pj)=n∗(ki−kj)

因为a与n互质，即n|(pi−pj)，不成立。

所以S=Z。

由此我们可以列出等式：

a∗p1∗a∗p2...∗a∗pφ(n)aφ(n)≡p1∗p2...pφ(n)(modn)≡1(modn)

延伸：

费马定理：如果正整数a与p互质，则ap−1≡1(modp)。

证明：由性质一可得φ(p)=p−1，代入欧拉定理即可

性质六

设小于n的所有与n互质的数的和为Sum，Sum=n∗φ(n)2

证明：

首先证明一个结论：如果gcd（n,i）=1则gcd（n,n−i）=1。

反证法：如果存在k≠1使gcd（n,n−i）=k，那么

(n−i)modk=0，nmodk=0

可得imodk=0，即gcd（n,i）=k，也就是说如果gcd（n,i）=1，那么gcd（n,n−i）就不能大于1。

那么就可以得知与n互质的数都是成对存在的，并且和为n，那么就可以得出Sum=n∗φ(n)2的公式。

性质七

首先p是个质数。如果imodp=0，那么φ(i∗p)=p∗φ(i)（结论一），否则φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)（结论二）。

证明：

对于第一个结论我们只需证明gcd(n,m)=1可以得出gcd(n,m+n)=1即可。

反证法：假设gcd(n,m+n)=b(b≠1)。设n+m=k1b,m=k2b。

k2b+n=k1bn=(k1−k2)b

所以gcd(n,m)至少等于b。

得证。

对于第二个结论，我们可知由于gcd(i,p)=1，φ(i∗p)=φ(p)∗φ(i)，并且φ(p)=p−1(性质一，性质三)，得证。

性质八

直接给式子吧…

n=∑d|nφ(d)

根据上面那条式子可以继续推点显而易见的东西

∑i=1ni=∑i=1n∑d|iφ(d)=∑d=1nφ(d)∗⌊nd⌋

反演一下，φ(n)=∑d|nμ(d)∗nd

信息学中的应用

应用一：线筛φ函数

这个算法让我们可以在O(n)的时间得出φ(1)~φ(n)的值。

首先我们要用到几条上面提到的性质。

1. φ(n)=n−1（性质一）

2. 如果imodp=0，那么φ(i∗p)=p∗φ(i)（性质七）

3. 如果imodp≠0，那么φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)（性质七）

那么根线筛素数的原理一样（积性函数）我们只需根据欧拉函数的性质来进行线筛。

//YxuanwKeith
void Getphi(int Max) {
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= Max; i ++) {
if (!Flag[i]) {
phi[i] = i - 1; // i是质数，第一种情况。
pri[++ pri[0]] = i;
}
for (int j = 1; j <= pri[0]; j ++) {
if (1ll * i * pri[j] > Max) break;
Flag[i * pri[j]] = 1; //筛质数。
if (i % pri[j] == 0) {
phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];//（i % pri[j] = 0），第二种情况
break;
}
phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1); //（i % pri[j] ！= 0），第三种情况
}
}
}

应用二：O(n√)得到φ(n)

直接根据性质四，O(n√)的枚举n的所有质因子，然后直接套用公式算，如果n特别打的话还可以选择用millerrabin+pollarrho来找质数。

//YxuanwKeith
long long Getphi(long long n) {
long long phi = n;
for (long long i = 2; i * i <= n; i ++) {
if (n % i == 0) {
phi /= i;
phi *= i - 1;
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n != 1) phi /= n, phi *= n - 1;
return phi;
}

应用三：杜教筛求φ的前缀和

即求∑ni=1φ(i)，n<=1010

51nod题目连接

由于本文着重讨论欧拉函数的性质，所以就不细讲杜教筛相关内容，有兴趣的可以通过下面的blog了解：

http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

基本原理：假设我们要计算S(n)=∑ni=1f(i)

∑i=1n(f∗g)(i)=∑i=1n∑d∣ig(d)f(id)=∑d=1ng(d)∑1≤i≤n,d|if(id)=∑d=1ng(d)∑1≤i≤⌊nd⌋f(i)=∑d=1ng(d)S(⌊nd⌋)

∴g(1)S(n)=∑i=1n(f∗g)(i)−∑i=2ng(i)S(⌊ni⌋)

根据杜教筛的应用，设f(i)=φ(i)，我们要找到一个函数g(i)使得g(i)的前缀和和f(i)∗g(i)的前缀和都很好求。根据性质八，不难发现f(i)∗1=id（1函数满足各项都为1，id函数满足id(i)=i）。

设ϕ(n)=∑ni=1φ(i)，根据杜教筛:

ϕ(n)=∑i=1nφ(i)=∑i=1n⎛⎝i−∑d|i,d<iφ(d)⎞⎠=n⋅(n+1)2−∑i=2n∑d|i,d<iφ(d)=n⋅(n+1)2−∑id=2n∑d=1⎢⎣⎢⎢nid⎥⎦⎥⎥φ(d)=n⋅(n+1)2−∑i=2n∑d=1⌊ni⌋φ(d)=n⋅(n+1)2−∑i=2nϕ(⌊ni⌋)

然后递推进去算就可以了，直接这样算是O(n34)，但是由于φ是积性函数，可以预处理出前n23的ϕ然后再做杜教筛，复杂度就优化成了O(n23)

//YxuanwKeith
//51nod1239
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 5e6 + 5, MAXM = 1e6 + 5;
const int Mo = 1e9 + 7;

LL n, que[MAXM];
int m, num, pri[MAXN], sum[MAXN], phi[MAXN], ids[MAXM], idl[MAXM], s[MAXM], inv[MAXN];
bool flag[MAXN];

int power(int x, int y) {
int ans = 1;
for (; y; y >>= 1, x = 1ll * x * x % Mo)
if (y & 1) ans = 1ll * ans * x % Mo;
return ans;
}

void prepare() {
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i < MAXN; i ++) {
if (!flag[i]) pri[++ pri[0]] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= pri[0] && 1ll * i * pri[j] < MAXN; j ++) {
int x = i * pri[j];
flag[x] = 1;
if (i % pri[j] == 0) {
phi[x] = phi[i] * pri[j];
break;
}
phi[x] = phi[i] * (pri[j] - 1);
}
}
for (int i = 1; i < MAXN; i ++) sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i]) % Mo;
}

int main() {
scanf("%lld", &n);
prepare();
m = sqrt(n);
for (LL l = 1; l <= n; l ++) {
LL d = n / l, r = n / d;
que[++ num] = d;
if (d <= m) ids[d] = num; else idl[l] = num;
l = r;
}
int inv = power(2, Mo - 2);
for (int i = num; i; i --) {
LL x = que[i];
if (x < MAXN) s[i] = sum[x]; else {
int y = x % Mo;
s[i] = 1ll * y * (y + 1) % Mo * inv % Mo;
for (LL l = 2; l <= x; l ++) {
LL p = x / l, r = x / p;
p = (p <= m) ? ids[p] : idl[n / p];
(s[i] -= 1ll * (r - l + 1) * s[p] % Mo) %= Mo;
l = r;
}

}
}
printf("%d\n", (s[1] + Mo) % Mo);
}

另外还有一些欧拉函数的变形也可以通过杜教筛来算：

1. f(i)=φ(i)∗i，f(i)∗id=id2

∑d|nd⋅φ(d)⋅nd=n⋅∑d|nφ(d)=n2

这个可以扩展到f(i)=φ(i)∗ik，f(i)∗idk=idk+1