三、时间复杂度和空间复杂度

高级语言编写的程序的运行时间取决于以下因素：

1. 算法采用的策略、方案

2. 编译产生的代码质量【高级语言写的源代码通过编译器编译成二进制代码】

3. 问题的输入规模

4. 机器执行指令的速度

其中2和4分别取决于计算机软件、硬件，抛去这些，可见程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模。

分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来。

函数的渐进增长：f(n)与g(n)，若存在一个整数N，使n>N时，f(n)恒大于g(n)，则称f(n)的增长渐进快于g(n)。

判断算法的效率时，函数中的常数和其他次要项科研忽略，更应该关注最高次项的阶数。

算法时间复杂度的定义：进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)为问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，称之为大O记法。

一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

如何分析时间复杂度：

 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

 若最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

 最后得到的结果就是大O阶数。

阶数：

 常数阶O(1)

 线性阶O(n)【非嵌套循环】随着问题n的扩大，对应计算次数呈直线增长。

 平方阶O(n²)【嵌套循环】，循环时间复杂度=循环体的复杂度×该循环的嵌套次数

 对数阶O(log(n))(注：logn指的是以2为底n的对数)

例如：

int i=1,n=100;
While (i<n)
{
i=i*2;
}

常见时间复杂度还有：nlogn阶，立方阶，指数阶O(2^n)等

耗费时间：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2^n)< O(n!) < O(n^n)

最坏情况与平均情况：

 平均运行时间是期望的运行时间。

 最坏运行时间是一种保证，在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，运行时间都是指最坏运行时间。

算法的空间复杂度：

写代码时可以用空间来换取时间。【判断是否闰年的例子：设计算法与查表】

空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，计算公式：S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

通常我们都是用时间复杂度来指运行时间的需求，是用空间复杂度指空间需求。当直接要让我们求复杂度时，通常指的是时间复杂度。