Catalan数—求解n个节点能组成的二叉树个数问题
2016-08-27 09:02
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1.catalan简介
卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)命名。历史上,清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”,远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。卡塔兰数的一般公式为 C(n,2n)/(n+1)。
2.性质
令h(0)=1,h(1)=1,卡塔兰数数满足递归式:
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0)
//(其中n>=2),这是n阶递推关系;
还可以化简为1阶递推关系: 如
h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1) (n>1) h(0)=1
该递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,…)
卡塔兰数列的前几项为(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [注: n = 0, 1, 2, 3, … n]
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
3.应用
(1)括号化问题
矩阵连乘: P=a0×a1×a2×a3×……×an,共有(n+1)项,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
(2)出栈次序问题
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
(3)n节点组成二叉树的个数
可以分析,当n=1时,只有1个根节点,则只能组成1种形态的二叉树,令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n),则h(1)=1; h(0)=0;
当n=2时,1个根节点固定,还有2-1个节点。这一个节点可以分成(1,0),(0,1)两组。即左边放1个,右边放0个;或者左边放0个,右边放1个。即:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2,则能组成2种形态的二叉树。
当n=3时,1个根节点固定,还有2个节点。这2个节点可以分成(2,0),(1,1),(0,2)3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5,则能组成5种形态的二叉树。
以此类推,当n>=2时,可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+…+h(n-1)*h(0)种,即符合Catalan数的定义,可直接利用通项公式得出结果。
令h(1)=1,h(0)=1,catalan数(卡特兰数)满足递归式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式:
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
该递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,…)
(4)类似问题
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)命名。历史上,清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”,远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。卡塔兰数的一般公式为 C(n,2n)/(n+1)。
2.性质
令h(0)=1,h(1)=1,卡塔兰数数满足递归式:
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0)
//(其中n>=2),这是n阶递推关系;
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还可以化简为1阶递推关系: 如
h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1) (n>1) h(0)=1
1
该递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,…)
1
卡塔兰数列的前几项为(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [注: n = 0, 1, 2, 3, … n]
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
3.应用
(1)括号化问题
矩阵连乘: P=a0×a1×a2×a3×……×an,共有(n+1)项,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
(2)出栈次序问题
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
(3)n节点组成二叉树的个数
可以分析,当n=1时,只有1个根节点,则只能组成1种形态的二叉树,令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n),则h(1)=1; h(0)=0;
当n=2时,1个根节点固定,还有2-1个节点。这一个节点可以分成(1,0),(0,1)两组。即左边放1个,右边放0个;或者左边放0个,右边放1个。即:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2,则能组成2种形态的二叉树。
当n=3时,1个根节点固定,还有2个节点。这2个节点可以分成(2,0),(1,1),(0,2)3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5,则能组成5种形态的二叉树。
以此类推,当n>=2时,可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+…+h(n-1)*h(0)种,即符合Catalan数的定义,可直接利用通项公式得出结果。
令h(1)=1,h(0)=1,catalan数(卡特兰数)满足递归式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式:
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
该递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,…)
(4)类似问题
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
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