Andrew Ng机器学习课程（一） - Python梯度下降实战

纸上获得终觉浅，要知学问需code。每次看那么多公式，是时候亲自实现一下，沉淀一下知识。在自己实现的过程，才发现自己忽略了还多细节，也debug了好久。

定义符号

线性回归，定义实验函数 y = 0.5x1+x0。

参考教材，x0 = 1，所以先定义一些变量，这会影响到后面的计算。

- x = [ [x00,x01]T, … , [xn0,xn1]T ] 样本向量

- y = [y0,y1,...,yn]T 目标向量

- w = [w1,w0]T 权值向量

上面的向量shape到计算的时候很重要，趟过几次坑了。

测试数据

初始化测试数据，添加高斯噪声。

def load_dataset(n):
noise = np.random.rand(n)
X = [[x, 1.] for x in range(n)]
y = [(0.5 * X[i][0]  + 1. + noise[i]) for i in range(n)]
return np.array(X).T, np.array(y).T # 注意X，W，y的维数

批梯度下降

批梯度下降就是计算整个样本的损失总值才更新一遍权值，具体推导看Andrew Ng的课程。

需要注意的就是公式中的负号放进括号里面了，之前没看清楚，导致一直没收敛。没有使用终止条件，因为发现会提前结束，没达到好的效果。

def bgd(self, X, y):
start_time = timeit.default_timer()

loop_max = 10000 #最大迭代数
epsilon = 0.000001 # 精度
alpha = 0.0005 # 步长

later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))
for loop in range(loop_max):
# former_L = later_L
for j in range(len(X)):
tmp = 0
for i in range(len(X[0])):
predict = self.predict(X.T)
tmp += (predict[i] - y[i]) * X[j][i] # predict和y的顺序问题
self.w[j] = self.w[j] - alpha * tmp
# later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))

# if former_L - later_L < epsilon:
#   break

结果：

随机梯度下降

随机梯度下降就是每一个样本更新一次权值，超过样本范围就循环回去。

def sgd(self, X, y):
start_time = timeit.default_timer()

loop_max = 10000 #最大迭代数
epsilon = 0.000001 # 精度
alpha = 0.0005 # 步长

later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))
for loop in range(loop_max):
# former_L = later_L
tmp = self.w[0] * X[0][loop % len(X[0])] + self.w[1] * X[1][loop % len(X[0])] - y[loop % len(X[0])]
for j in range(len(X)):
self.w[j] = self.w[j] - alpha * tmp
# later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))

# if former_L - later_L < epsilon:
#   break

结果：

小批量随机梯度下降

小批量(minibatch)的方法就是结合上面的两种方法，把样本总体切成小块，每小块更新一次权值。这个代码实现并不美观，纠结。

def msgd(self, X, y):
batch_size = 2

start_time = timeit.default_timer()

loop_max = 10000 #最大迭代数
epsilon = 0.000001 # 精度
alpha = 0.0005 # 步长

later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))
tmp = [0 for i in range(len(X))]
for loop in range(int(loop_max / batch_size)):
# former_L = later_L

tmp[0] += (self.w[0] * X[0][loop % len(X[0])] + self.w[1] * X[1][loop % len(X[0])] - y[loop % len(X[0])]) * X[0][loop % len(X[0])]
tmp[1] += (self.w[0] * X[0][loop % len(X[0])] + self.w[1] * X[1][loop % len(X[0])] - y[loop % len(X[0])]) * X[1][loop % len(X[0])]

if loop % batch_size == 0:
for j in range(len(X)):
self.w[j] -= alpha * tmp[j]
tmp[j] = 0

# later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))

# if former_L - later_L < epsilon:
#   break

结果：

Normal Equation

这种方法引入了矩阵的表示。这里也要注意X的shape。



第二步： 先使用转置的性质把装置符号放进括号，然后就是乘法分配。

第三步： 实数的迹等于本身。

第四步： y^T^y不包含参数，求导忽略。第一项用对参数转置求导的公式化简。第二第三项用迹的性质，trA^T^=trA合并。

最后： 导数为0，就是最优解。

def normal_equation(self, X, y):

start_time = timeit.default_timer()

X = X.T
X_T_X = np.linalg.pinv(X.T.dot(X)) # 奇异矩阵的伪逆矩阵
self.w = np.dot(X_T_X, X.T).dot(y)

结果对比

完整代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import timeit
# y = 0.5 * x0 + 1 * x1

def load_dataset(n):
noise = np.random.rand(n)
X = [[x, 1.] for x in range(n)]
y = [(0.5 * X[i][0]  + 1. + noise[i]) for i in range(n)]
return np.array(X).T, np.array(y).T # 注意X，W，y的维数

class LinearRegression(object):
def __init__(self, m):
self.w = np.random.rand(m)

# 计算预测值，点乘的顺序决定X是否为转置
def predict(self, X):
predict = np.dot(X, self.w)
return predict

# 计算损失函数
def loss(self, y, predict):
l = 0
for i in range(len(y)):
l += (y[i] - predict[i]) ** 2
return 1/2 * l

# 正规方程
def normal_equation(self, X, y):

start_time = timeit.default_timer()

X = X.T
X_T_X = np.linalg.pinv(X.T.dot(X)) # 奇异矩阵的伪逆矩阵
self.w = np.dot(X_T_X, X.T).dot(y)
end_time = timeit.default_timer()

predict = self.predict(X)
plt.figure(0)
plt.scatter(range(len(y)), y)
plt.plot(range(len(y)), predict, color='r')
plt.title('Normal Equation')
plt.show()
print('... Using normal equation')
print('The w is:', self.w)
print('It cost %f s' % (end_time - start_time))
print('The loss is:', self.loss(y, predict))
print()

# 批梯度下降
def bgd(self, X, y):
start_time = timeit.default_timer()

loop_max = 10000 #最大迭代数
epsilon = 0.000001 # 精度
alpha = 0.0005 # 步长

later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))
for loop in range(loop_max):
# former_L = later_L
for j in range(len(X)):
tmp = 0
for i in range(len(X[0])):
predict = self.predict(X.T)
tmp += (predict[i] - y[i]) * X[j][i] # predict和y的顺序问题
self.w[j] = self.w[j] - alpha * tmp
# later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))

# if former_L - later_L < epsilon:
#   break

end_time = timeit.default_timer()

predict = self.predict(X.T)
plt.figure(1)
plt.scatter(range(len(y)), y)
plt.plot(range(len(y)), predict, color='r')
plt.title('Batch Gradient Descent')
plt.show()
print('... Using batch gradient descent')
print('The w is:', self.w)
print('It cost %f s' % (end_time - start_time))
print('The loss is:', self.loss(y, predict))
print()

# 随机梯度下降
def sgd(self, X, y):
start_time = timeit.default_timer()

loop_max = 10000 #最大迭代数
epsilon = 0.000001 # 精度
alpha = 0.0005 # 步长

later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))
for loop in range(loop_max):
# former_L = later_L
tmp = self.w[0] * X[0][loop % len(X[0])] + self.w[1] * X[1][loop % len(X[0])] - y[loop % len(X[0])]
for j in range(len(X)):
self.w[j] = self.w[j] - alpha * tmp
# later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))

# if former_L - later_L < epsilon:
#   break

end_time = timeit.default_timer()

predict = self.predict(X.T)
plt.figure(2)
plt.scatter(range(len(y)), y)
plt.plot(range(len(y)), predict, color='r')
plt.title('Stochastic Gradient Descent')
plt.show()
print('... Using stochastic gradient descent')
print('The w is:', self.w)
print('It cost %f s' % (end_time - start_time))
print('The loss is:', self.loss(y, predict))
print()

# 小批量随机梯度下降
def msgd(self, X, y):
batch_size = 2

start_time = timeit.default_timer()

loop_max = 10000 #最大迭代数
epsilon = 0.000001 # 精度
alpha = 0.0005 # 步长

later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))
tmp = [0 for i in range(len(X))]
for loop in range(int(loop_max / batch_size)):
# former_L = later_L

tmp[0] += (self.w[0] * X[0][loop % len(X[0])] + self.w[1] * X[1][loop % len(X[0])] - y[loop % len(X[0])]) * X[0][loop % len(X[0])]
tmp[1] += (self.w[0] * X[0][loop % len(X[0])] + self.w[1] * X[1][loop % len(X[0])] - y[loop % len(X[0])]) * X[1][loop % len(X[0])]

if loop % batch_size == 0:
for j in range(len(X)):
self.w[j] -= alpha * tmp[j]
tmp[j] = 0

# later_L = self.loss(y, self.predict(X.T))

# if former_L - later_L < epsilon:
#   break

end_time = timeit.default_timer()

predict = self.predict(X.T)
plt.figure(2)
plt.scatter(range(len(y)), y)
plt.plot(range(len(y)), predict, color='r')
plt.title('Minibatch Stochastic Gradient Descent')
plt.show()
print('... Using minibatch stochastic gradient descent')
print('The w is:', self.w)
print('It cost %f s' % (end_time - start_time))
print('The loss is:', self.loss(y, predict))
print()

X, y = load_dataset(10)

EN = LinearRegression(2)
EN.normal_equation(X, y)

BGD = LinearRegression(2)
BGD.bgd(X, y)

SGD = LinearRegression(2)
SGD.sgd(X, y)

MSGD = LinearRegression(2)
MSGD.msgd(X, y)