bzoj3813(线段树+乘法逆元+欧拉函数)

给定一个序列，每个数都由60个最小的素数的乘积构成，

求某段的乘积的欧拉函数值对19961993取模后的值，支持单点修改

这题看似有难度，实际上主要是题目描述太恶心了，oi真是综合，把语文连着一块考。。

关键还是分析出一个数的phi构造，

n=π  pi^ki

那么他的phi就是：（pi-1）*pi^(ki-1)

其实通俗点就是，对于每一个质因子k，n / k *（k-1），我们知道这道题当中的质因子只有可能有60个，我用bitset的线段树来维护一个区间出现了哪些质因子，另一个线段树维护，区间之积。得到这两个之后，就根据之前的出现的质因子来计算积的phi就好

因为要除法所以需要乘法逆元，因为质因子只有60个，所以需要的逆元也只需要这个60个（实际上phi也只需要这60个），

又因为需要提区间并且单点并且乘积这个信息可以合并更新，所以需要线段树

关键还是这种计算phi的方式比较重要

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=19961993;
const int n=200200;
int id[500];
ll ny[100];
int p[100],phi[500];
bool b[300];
struct aa
{
int l,r;
ll mul;
bitset<70> cnt;
}a[4*n];

void up(int i)
{
a[i].mul=1;
if (a[i<<1].l) a[i].mul=a[i<<1].mul*a[i].mul%mod;
if (a[i<<1|1].l) a[i].mul=a[i<<1|1].mul*a[i].mul%mod;
a[i].cnt.reset();
a[i].cnt=a[i<<1].cnt|a[i<<1|1].cnt;
}

void build(int i,int l,int r)
{
a[i].l=l;a[i].r=r;
if (l==r)
{
a[i].mul=3;
a[i].cnt.set(2);
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(i<<1,l,mid);
build(i<<1|1,mid+1,r);
up(i);
}
ll query_mul(int i,int l,int r)
{
if (a[i].l==l&&a[i].r==r) return a[i].mul;
int mid=(a[i].l+a[i].r)>>1;
if (mid>=r) return query_mul(i<<1,l,r);
else if (mid<l) return query_mul(i<<1|1,l,r);
return query_mul(i<<1,l,mid)*query_mul(i<<1|1,mid+1,r)%mod;
}
bitset<70> query_bit(int i,int l,int r)
{
if (a[i].l==l&&a[i].r==r) return a[i].cnt;
int mid=(a[i].l+a[i].r)>>1;
if (mid>=r) return query_bit(i<<1,l,r);
else if (mid<l) return query_bit(i<<1|1,l,r);
return query_bit(i<<1,l,mid)|query_bit(i<<1|1,mid+1,r);
}
void work(int l,int r)
{
ll mull=query_mul(1,l,r);
bitset<70> cnt=query_bit(1,l,r);

for (int i=1;i<=60;i++)
if (cnt.test(i))
{
mull=mull*ny[i]%mod;
mull=mull*(p[i]-1)%mod;
}
printf("%lld\n",mull);
}
void updata(int i,int pos,int x)
{
if (a[i].l==a[i].r)
{
a[i].cnt.reset();
for (int j=1;j<=60;j++)
if (x%p[j]==0) a[i].cnt.set(j);
a[i].mul=x;
return ;
}
int mid=(a[i].l+a[i].r)>>1;
if (pos<=mid) updata(i<<1,pos,x);
else updata(i<<1|1,pos,x);
up(i);
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
if (b==0) {d=a;x=1;y=0;return ;}
exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);
}
ll kk(ll a,ll n)
{
ll x,y,d;
exgcd(a,n,d,x,y);
return ((x%n)+n)%n;
}
void init()
{
phi[1]=1;
for (int i=2;i<=281;i++)
{
if (!b[i])
{
p[++p[0]]=i;
id[i]=p[0];
phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=281;j++)
{
b[i*p[j]]=true;
if (i%p[j]==0)
{
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
for (int i=1;i<=p[0];i++)
ny[i]=kk(p[i],mod);
}// ok

int main()
{
int x;
scanf("%d",&x);
init();
build(1,1,n);

while (x--)
{
int op,x,y;
scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
if (op==0) work(x,y);
else updata(1,x,y);
}

return 0;
}

总结：对题目描述的理解非常的重要，这道题许多的转弯，实际上完全可以用一句话来解释。所以锻炼读题的能力也是很需要的，注意题目中的细节，也许就是问题模型的一个约束