poj 1845Sumdiv(唯一分解定理&&约数和公式&&二分求等比数列和&&反复平方法计算p^n幂～～～好多定理啊)

Sumdiv

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 30000K
Total Submissions: 19354		Accepted: 4869

Description
Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).
Input
The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.
Output
The only line of the output will contain S modulo 9901.
Sample Input

2 3

Sample Output

15

Hint
2^3 = 8.

The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.

15 modulo 9901 is 15 (that should be output).

Source
Romania OI 2002
再次感谢 you姐的博客～  数论这些定理 有空再补吧还是QAQ

大致题意：
求A^B的所有约数（即因子）之和，并对其取模 9901再输出。
 
解题思路：
要求有较强 数学思维 的题
应用定理主要有三个：
要求有较强 数学思维 的题
应用定理主要有三个：
（1）   整数的唯一分解定理：
      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数

（2）   约数和公式：
对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

    S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3）   同余模公式：
(a+b)%m=(a%m+b%m)%m
(a*b)%m=(a%m*b%m)%m
 
有了上面的数学基础，那么本题解法就很简单了：
1: 对A进行素因子分解
分解A的方法：
A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时 ，记录2出现的次数+1，A/=2；
当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模...
以此类推，直到A==1为止。
 
注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。
 
最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn.

      故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

2：A^B的所有约数之和为：
     sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

3: 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：
（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：

      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))

      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))
上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。
 
（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:

      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)

      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);
   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解
 
4：反复平方法计算幂次式p^n
   这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。
   以p=2，n=8为例
   常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2
   这样做的要做8次乘法
 
   而反复平方法则不同，
   定义幂sq=1，再检查n是否大于0，
While，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq
{
   n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4     ，n取半 n=4
   n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16   ，n取半 n=2
n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256  ，n取半 n=1，sq=sq*p
n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2  ，n取半 n=0，弹出循环
}
则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法
#include<stdio.h>
#define mod 9901
long long power(long long p,long long n)//反复平方法求 (p^n)%mod
{
long long sq=1;
while(n>0)
{
if(n%2)
sq=sq*p%mod;
n/=2;
p=(p*p)%mod;
}
return sq;
}
long long int sum(long long p,long long n)//递归二分求 (1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n)%mod
{
if(n==0)
return 1;
if(n%2)
return (sum(p,n/2)*(1+power(p,n/2+1)))%mod;//奇数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))
else
return (sum(p,n/2-1)*(1+power(p,n/2+1))+power(p,n/2))%mod;//偶数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
}
int main()
{
int a,nn;
int i,j;
int p[1001],n[1001];//A的分解式,p[i]^n[i]
int k;
while(~scanf("%d%d",&a,&nn))
{
k = 0;
for( i = 2; i * i <=a;)/*常规做法：分解整数A (A为非质数)*/
{ //根号法+递归法

if(a%i==0)
{
p[k] = i;
n[k] = 0;
while(a%i==0)
{
n[k]++;
a/=i;
}
k++;
}
if(i==2)//奇偶法
i++;
else i=i+2;
}
if(a!=1)/*特殊判定：分解整数A (A为质数)*/
{
p[k]=a;
n[k++]=1;
}
int ans = 1;//约数和
for( i = 0; i <k; i++)
{
ans=(ans*(sum(p[i],nn*n[i])%mod))%mod; //n[i]*nn可能会超过int，因此用__long long
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}