扩展欧几里德

欧几里德



int gcd(int a,int b){
    if(b) while(b^=a^=b^=a%=b);
    return a;
}



扩展欧几里德

int ext_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=ext_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;    //    x=y`   y=x`-[a/b]*y`
    return ans;
}

求得ax+by=gcd
若x+=k*(b/gcd)    y-=k*(a/gcd)，等式一样成立

二进制gcd算法：
如果a和b都是偶数，则gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)
如果a是奇数，b是偶数，则gcd(a,b)=gcd(a,b/2)
如果a和b都是奇数，则gcd=(b,(a-b)/2)

例题： HDOJ 1576
题目：
     要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。
做法：
     根据题目我们知道： n=A%9973=A-A/9973*9973。设A/B=x，则A=Bx。所以Bx-A/9973*9973=n。
     即Bx-9973y=n  ---① （y是多少不重要也不用管 ，用不上）

     题目所求的值就是x%9973的值

     利用扩展欧几里德算法可求出gcd(B,9973)=Bx1+9973y1=1 的x1，x=n*x1（等式两边乘于n就是①式了嘛）

     为什么可以这样做：①式有无数解，最原始的解就是x0 = x1* n/ gcd(B,9973)
     其他解可通过x=x0+t*9973， y=y0-t*B（t为整数）得来！！

     得到的x可能为负值，所以还需要x=(x%9973+9973)%9973。（x=abs(x)%9973是错的）
     怕不同编译器对余数的符号取法不一样出错，就用

if(x<0)   x=x+(-x/9973+1)*9973;
else      x=x%9973;