HDU 5833 Zhu and 772002 高斯消元

原题见HDU 5833

在n个数中选择几个数ai相乘得到平方数，问有多少种取法。最大的素因子不超过2000，最后答案mod 1000000007。

(1≤n≤300,1≤ai≤1018)

分析

所有数的因子不超过2000，则可以打表得到所有可能的因子共pn个。并得到每个因子属于第几个。

对每个数整数分解，可以得到由因子的指数形成的pn维向量。如

4->(2,0,0,…)

90->(1,2,1,…)

省略部分为0.

题意等价于选取一些向量，使得向量和的每个分量都是偶数。

其实分量只要看奇偶，即模2为1或0.因此每个向量的分量只要标明是1或0，而不必看是否是大于1的数。

4->(0,0,0,…)

90->(1,0,1,0,0,…)

若选取第i个向量，则令xi=1，否则为0.

现在把每个向量竖着写，形成一个pn*n的矩阵A，令X=(x1,x2,...xn)−1，最后的结果为β=(0,0,...,0)−1。题意即等价于求方程AX=β的解X的个数。

这个过程由高斯消元搞定。

由线性代数的性质可知，只要求A的秩r，即可得自由元有n-r个，且每个元的解集为{0,1}，故共有2n−r个解。其中必有解(0,0,0,...,0)但因为这个解表示并不取任何数，故要舍去。最后要求的是(2n−r−1)%1000000007

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2000
#define LL long long
int num
, prim
, pn = 0, a

, mod=1000000007;
void table() {
memset(num, -1, sizeof(num));
for(int i = 2;i < N;i++) {
if(num[i]) prim[pn++] = i;
for(int j = 0;j < pn && 1LL*prim[j]*i < N;j++) {
int t = prim[j] * i;
num[t] = 0;
if(i % prim[j] == 0)
break;
}
}
}
int n, m;
int gauss()//根据伪代码这个很好理解
{
int i, j, k, id;
for(i = 0, j = 0; i < m,j < n;)    {
id = i;
for(k = i+1; k < m; k++)
if(abs(a[k][j]) > abs(a[id][j]))
id = k;
if(id != i) {
for(k = j; k < n; k++)
swap(a[i][k],a[id][k]);
}//使a[id][k](i<=k<=n)是最 大的,并把这行移到第i行
if(a[i][j] == 0) { j++; continue; }//最大的a[id][k]=0
for(k = i+1; k < m; k++)//线性变换化0
{
if(a[k][j] == 0) continue;
for(int l = j; l < n; l++)
a[k][l] = a[k][l] ^ a[i][l];
}
i++,j++;
}
for(int k = i; k < m; k++) if(a[k]
!= 0) {
return -1;//根据前面说的，无解
}
return n-i;
}
LL powo(LL a, int k) {
if(k == 0) return 1;
if(k == 1) return a;
LL tmp = powo(a, k/2);
tmp = tmp * tmp % mod;
if(k & 1) tmp *= a;
return tmp % mod;
}
void solve() {
int x = gauss();
LL ans = powo(2, x) - 1;
ans = (ans % mod + mod) % mod;
printf("%lld\n", ans);
}
int main() {
int T, o = 0;
table();
scanf("%d", &T);
while(T--) {
scanf("%d", &n);
m = 0;
memset(a, 0, sizeof(a));
for(int i = 0;i < n;i++) {
LL t;
scanf("%lld", &t);
for(int j = 0;j < pn && prim[j] <= t;j++) {
while(t % prim[j] == 0) {
t /= prim[j];
a[j][i]++;
}
a[j][i] &= 1;
if(a[j][i])
m = max(m, j+1);
}
}
printf("Case #%d:\n", ++o);
solve();
}
return 0;
}