Leetcode - Math -258. Add Digits（数位求和，规律题）

1. Problem Description 

Given a non-negative integer num, repeatedly add all its digits until the result has only one digit.

For example:

Given num = 38, the process is like: 3 + 8 = 11, 1 + 1 = 2. Since 2 has only one digit, return it.

Follow up:

Could you do it without any loop/recursion in O(1) runtime?
给一个数字，一直求它的各位和，直到这个数字小于10为止。

2. My solution1（Loop）

直接模拟过程，其中wei是求各位和函数。

class Solution {

public:

    int wei(int num)

    {

        int ans=0;

        while(num>0)

        {

            ans+=num%10;

            num/=10;

        }

        return ans;

    }

    int addDigits(int num) {

        int tmp=num;

        while(tmp>=10)

            tmp=wei(tmp);

        return tmp;

    }

};

3. My solution2（O[1]算法）

class Solution

{

public:

    int addDigits(int num)

    {

        if(num==0) return 0;

        if(num%9==0)   return 9;

        else   return num%9;

    }

};

接下来我们将利用已知定理证明：

已知：

①( a + b ) % x =a % x + b % x

②递归重复求解一个x进制数num的各位之和，最终一定得到一个（0~x-1）之间的数

可得：

①一个n位x进制数num的各位之和对（x-1）取余，与这个数num本身对（x-1）取余的答案相同。

②递归重复求解一个x进制数num的各位之和对（x-1取余），与这个数num本身对（x-1）取余的答案相同。

证明：

任何一个10进制数num，都可以表示成这样一个多项式和，如4位数。

这里以2369为例。

8765=8+7+6+5+8*999+7*99+6*9+5*0

我们知道这个式子中右边的部分8*999+7*99+6*9+5*0一定可以被9整除，他们对9取余得到0。

又已知存在定理：

①( a + b ) % x =a % x + b % x

也就是说：

8765 % 9 =（8+7+6+5）% 9 +（8*999+7*99+6*9+5*0）% 9 =（8+7+6+5）% 9 ……………①

8765% 9 = 26 % 9 = 8

于是我们得到一个新的结论：

一个n位x进制数num的各位之和对（x-1）取余，与这个数num本身对（x-1）取余的答案相同。
现在我们想要知道这个数各位一直求和得到的0~9之间的数是多少，就将其对9取模即可。

所以得到return num%9就可以了。但是当num=9的倍数时，最后一步将得到9；当num=0时，又会得到0，需要特殊判定一下。

　　 if(num==0) return 0;
if(num%9==0) return 9;
else return num%9;
网上总结出的公式，也可以直接：

return （num-1）%9+1