递归的定义以及递归的示例(计算阶乘、计算斐波那契数、递归二分查找、回文串递归方法解决、汉诺塔问题、递归选择排序问题)

1、关于递归

使用递归就是使用递归方法编程，递归方法就是直接或间接调用自己的方法。

递归是一种针对使用简单的循环难以编程实现的问题，提供优雅解决方案的技术。

2、递归题目之：计算阶乘

数字n的阶乘可以递归的定义如下：

0! = 1;(基本情况)
n! = n * (n-1)！；   n>0

由于已经知道了0! = 1,而 1! = 1*0 !

因此很容易计算求得1！。

假设已知知道(n-1)，使用n*(n-1)!就可以立即得到n！。

这样，计算n!的问题就简化为计算(n-1)!。

当计算 (n-1)!时，可以递归地应用这个思路直到n递减为0.

代码可以简单的写成：

if (n == 0)
{
return 1;
}
else
{
return n*factorial(n-1);
}

源代码为：

import java.util.*;

public class Factorial {

public static void main(String[] args)
{
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入一个整数n，计算 n!");
int a = sc.nextInt();

System.out.println(factorial(a));
}

public static long factorial(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n*factorial(n-1);
}
}

3、递归题目之：计算斐波那契数列

题目来源：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1387

题目描述：

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

输入：

输入可能包含多个测试样例，对于每个测试案例，

输入包括一个整数n(1<=n<=70)。

输出：

对应每个测试案例，

输出第n项斐波那契数列的值。

样例输入：

3

样例输出：

2

源代码：

import java.util.*;

public class Fibonacci {

public static void main(String[] args)
{
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int a = sc.nextInt();

System.out.println(fib(a));
}

public static int fib(int n)
{
if (n == 0)
return 0;
else if (n ==1)
return 1;
else
return fib(n-1) + fib(n-2);
}

}

4、递归题目之：汉诺塔问题

题目来源：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1458

这个问题本质上是递归的，利用递归就能够找到一个自然、简单的解决方案。如果

不使用递归，解决这个问题将会非常的麻烦。从某种程度讲，递归提供了某种层次的抽象，这种抽象对用户隐藏迭代和其他细节。

在三个盘子的情况下，可以手动的找出解决方案。然而，当盘子数量较大时，即使是4个，这个问题还是非常的复杂的。幸运的是，这个问题的本身就具有递归的性质，可以得到直观的递归解决解法。

(1)、借助塔B将前 n-1 个盘子从 A 移到 C
(2)、将盘子 n 从 A 移动到 B，
(3)、借助塔 A 将 n-1 个盘子从 C 移动到 B。

题目描述：

输入盘子的个数，输出盘子移动的过程，一直到最后移动到最终的塔上。提示用户输入盘子个数，然后以调用递归的方法moveDisks来显示移动牌子的解决方案。

伪代码：

//下面的方法借助辅助塔auxTower 将 n 个盘子从原始塔 fromTower 移动到目标塔 toTower上

void moveDisks(int n, char fromTower, char toTower, char auxTower)

这个方法的算法可以描述如下:

if (n == 1) //Stopping condition
Move disk 1 from the fromTower to the toTower
else{
moveDisks(n-1, fromTower, auxTower, toTower);
Move disk n from the fromTower to the toTower;
moveDisks(n-1, auxTower, toTower, fromTower);
}

源代码：

import java.util.Scanner;

public class TowerOfHanoi {

/**
* Main method
*/
public static  void main(String[] args)
{
//Create a Scanner
Scanner input = new Scanner(System.in);
System.out.println("enter number of disks");
int n = input.nextInt();

//find  the solution recursively
System.out.println("the  moves are:");
moveDisks(n, 'A', 'B', 'C');
}

/**
* The method for finding the solution to move n disks from
* fromTower to toTower with auxTower
*/
public static void moveDisks(int n, char fromTower, char toTower, char auxTower)
{
if (n == 1)//stopping condition
{
System.out.println("move disk" +n+ "from" +fromTower+ "to" +toTower);
}
else
{
moveDisks(n-1, fromTower, auxTower, toTower);
System.out.println("move disk" +n+ "from" +fromTower+ "to" +toTower);
moveDisks(n-1, auxTower, toTower, fromTower);
}
}
}

5、递归题目之：递归二分查找

使用二分查找的前提条件是数组元素必须已经排好序。二分查找法首先将关键字与数组中的元素进行比较，考虑下面三种情况：

情况一：如果关键字比中间元素小，那么只需要在前一半数组进行递归查找

情况二：如果关键字和中间元素相等，则匹配成功，查找结束

情况三：如果关键字比中间元素大，那么只需要在后一半数组进行递归查找

情况一和情况三都将查找返回将为一个更小的数列。而当匹配成功是，情况2就是一个基本情况。另外一个基本情况是查找完毕而没有一个成功的匹配。

public class RecursiveBinarySearch {

public static int recursiveBinarySearch(int[] list, int key)
{
int low = 0;
int high = list.length - 1;
return recursiveBinarySearch(list, key, low, high);
}

private static int recursiveBinarySearch(int[] list, int key, int low, int high)
{
if (low < high) //the list has been exhausted without a match
{
return -low-1;
}
int mid = (low + high) / 2;
if (key < list[mid])
return recursiveBinarySearch(list, key, low, mid - 1);
else if (key == list[mid])
return mid;
else
return recursiveBinarySearch(list, key, mid + 1, high);
}

public static void main(String[] args)
{
int[] list = {1,2,3,4,5,6,99,888,999,1002,1003,1050,10006};
int key = 888;
System.out.println(recursiveBinarySearch(list, key));
}

}

6、递归题目之：回文串递归方法解决（两种解决方法）

回文串定义：

“回文串”是一个正读和反读都一样的字符串，比如“level”或者“noon”等等就是回文串。

检查一个字符串是否是回文串的问题可以分为两个子问题：

(1)、检查字符串中的第一个字符和最后一个字符串是否相等

(2)、忽略两端的字符串之后检查子串的其余部分是否是回文串

解决方法一：

public class RecursivePalindromeUsingSubstring {

public static boolean isPalindrome (String s)
{
if (s.length() <= 1) // base case
return true;
else if (s.charAt(0) != s.charAt(s.length() - 1)) // base case
return false;
else
return isPalindrome(s.substring(1, s.length() - 1));
}

public static void main(String[] args)
{
System.out.println("Is moon a palindrome?" +isPalindrome("moon"));

System.out.println("Is noon a palindrome?" +isPalindrome("noon"));

System.out.println("Is aba a palindrome?" +isPalindrome("aba"));

System.out.println("Is ab a palindrome?" +isPalindrome("ab"));
}

}

解决方法二：（使用了递归辅助方法，下面的代码注释中会解释为什么第二种解法效率高一些）

package 递归;

public class RecursivePalindrome {

//在类RecursivePalindromeUsingSubstring中的isPalindrome方法要为每次调用创建一个新字符串，因此不够高效。
//为避免创建新字符串，可以使用low和high下表来表明子串的范围。这两个下标必须传递给递归方法。由于原始方法是isPalindrome(String s)
//因此，必须产生一个新方法isPalindrome(String s, int low, int high)来接收关于字符串的额外信息，如下面的程序所示：

//程序中定义了两个重载的isPalindrome方法。第一个方法isPalindrome(String s)检查一个字符串是否是回文串，而第二个方法
//isPalindrome(String s, int low, int high)检查一个子串 s(low..high)是否是回文串。第一个方法将low = 0
//和 high = s.length()-1的字符串s传递给第二个方法。第二个方法采用递归调用，检查不断缩减的子串是否是回文串。在递归设计中
//定义第二个方法来接收附加的参数是一个常用的技巧，这样的方法称为  递归辅助方法
public static boolean isPalindrome(String s)
{
return isPalindrome(s, 0, s.length()-1);
}

private static boolean isPalindrome(String s, int low, int high)
{
if (high <= low) //base case
return true;
else if (s.charAt(low) != s.charAt(high))//base case
return false;
else
return isPalindrome(s, low+1, high-1);
}

public static void main(String[] args)
{
System.out.println("Is moon a palindrome?" +isPalindrome("moon"));

System.out.println("Is noon a palindrome?" +isPalindrome("noon"));

System.out.println("Is aba a palindrome?" +isPalindrome("aba"));

System.out.println("Is ab a palindrome?" +isPalindrome("ab"));
}
}

7、递归题目之：选择排序

选择排序的思想是：先找到列表中的最小数，并和第一个元素交换。然后，再剩余的书中找到最小数，再将它和剩余列表中的第一个元素交换，这样的过程一直进行下去，直到列表中仅剩一个数为止。

这个问题可以分为两个子问题：

(1)、找出列表中的最小数，然后将它与第一个数进行交换。

(2)、忽略第一个数，对余下的较小一些的列表进行递归排序。

其中基本情况就是该列表中只包含一个数。

源代码：

public class RecursiveSelectionSort {

public static void sort(double[] list)
{
sort(list, 0, list.length-1);//sort the entire list
}

private static void sort(double[] list, int low, int high)
{

if (low < high)
{
//find the smallest number and its index in list[low .. high]
int indexOfMin = low;//假设下标为low的元素为最小值。
double min = list[low];//将下标为low的元素的值赋予min
for (int i = low + 1; i <= high; i++)
{
if (list[i] < min)
{
min = list[i];
indexOfMin = i;
}
}

//swap the smallest in list[low .. high] with list[low]
list[indexOfMin] = list[low];
list[low] = min;

//sort the remaining list[low+1 .. high]
sort(list, low + 1, high);
}
}

public static void main(String[] args)
{
double[] list = {1,99,2,65,51,78,23,99,101,33};
sort(list);
for (int i = 0; i <= list.length; i++)
{
System.out.println(list[i]);
}
}
}